La serie armonica è divergente (I)

E' ora di cominciare a sfruttare ASCIIMathML.js, altrimenti che l'ho messo a fare?

Quale modo migliore di farlo se non con la più bella equazione della matematica, nella forma che preferisco:

$e^{i\pi}+1=0$

Un giorno vedremo come si dimostra, c'è una strada molto facile, vi basti per ora osservare come trascendenza, potenza, 'immaginarietà', unità e finitezza si uniscano in una danza verso lo 0, il padre dei numeri (vedi il saggio "Sugli insiemi numerici"), un numero sottovalutato ma che raggiunge il cuore della matematica, una geniale intuizione!

Abbandoniamo la vena mistica e poetica per concentrarci sul problema che voglio introdurre con questo post: la convergenza della serie armonica, o meglio, la sua divergenza.

Prima di cominciare, forse è il caso di introdurre la serie armonica.Si tratta della semplice somma di razionali positivi

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$

ed è una delle più celebrate formule della matematica, nonché uno dei più chiari esempi del fatto che per avere la convergenza della serie non è sufficiente che i termini della somma tendano a zero. Inoltre è particolarmente interessante notare che basta modificare di pochissimo (addirittura di un $\epsilon$ positivo) tale serie per avere la convergenza (infatti $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}$ converge per $s>1$ e non solo... provate a chiedere a google della Zeta di Riemann o a leggere la presentazione "La Zeta di Riemann").

Molti di voi avranno già storto il naso pensando che non è affatto ovvio che la somma di cui sopra sia divergente, anzi, a occhio, verrebbe da pensare che possa avere un limite finito e nemmeno tanto lontano da 1... lo scopo di questo post (e di altri che lo seguranno) è di mostrarvi che in effetti non vi sto mentendo. La serie armonica è divergente! Alcuni fortunati si renderanno anche conto del fatto che le dimostrazioni di tale divergenza sono, oltre che molte, molto educative.

Prima di iniziare è bene fissare almeno una notazione. Chiamiamo $S_k$ il troncamento della somma al termine $k$-esimo: $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n}.$

Cominciamo con quella che si ritiene essere la dimostrazione più antica, formulata da Nicola d'Oresme attorno al 1350 d.C.

Si consideri la sottosuccessione $\{S_{2^k}\}_{k=0,...,+\infty}$. Si ha:

• $S_1=1=1+0\left(\frac{1}{2}\right)$


• $S_2=1+\frac{1}{2}=1+1\left(\frac{1}{2}\right)$


• $S_4=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)>$
  $>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+2\left(\frac{1}{2}\right)$


• $S_8=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)>$
  $>1+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+3\left(\frac{1}{2}\right)$

In generale, $S_{2^k}\geq 1+k\left(\frac{1}{2}\right)$.

Poiché la sottosuccessione $\{S_{2^k}\}$ è divergente, anche la successione $\{S_k\}$ lo è.

Si noti che usando lo stesso procedimento, si può dimostrare che per ogni intero positivo N, si ha $S_{N^k}\geq 1+k\left(\frac{N-1}{N}\right).$