La serie armonica è divergente (III)

Vi presento stasera una dimostrazione dovuta a Pietro Mengoli, un matematico bolognese del 1600.

Si noti innanzitutto che $\forall n\geq2$

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}=\frac{2n}{n^2-1}>\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}$

e dunque

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}>\frac{2}{3}$,    $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}>\frac{2}{6}$,     $\frac{1}{8}+\frac{1}{10}>\frac{2}{9}$,    ecc.

Supponiamo per assurdo che la serie armonica converga ad un qualche valore $S$. Allora

$S = 1+ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right) + ... > $
    $ > 1+\frac{3}{3}+\frac{3}{6}+\frac{3}{9} + ... = $
    $ = 1+S$.

La contraddizione $S>1+S$ conclude la dimostrazione.

E' interessante notare che la disuguaglianza usata da Mengoli

$\forall n\geq2,$    $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}>\frac{2}{n}$,

è un caso particolare della disuguaglianza tra media armonica e media aritmetica

$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}\right)^{-1}<\bar{x}.$

Si può sfruttare questa disuguaglianza per dimostrare che quali che siano due interi positivi $h$ e $k$,

$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{k+h}>\frac{2h+2}{h+2k}$.

Da questa si possono ricavare un gran numero di altre dimostrazioni... si può, per esempio, raggruppare termini consecutivi della serie armonica affinché la loro somma sia $1$: questo condurrà alla sottosuccessione $\{S_{(3^n-1)/2}\}$, il cui termine $n$-esimo è inferiormente limitato da $n$, cioè

$\{S_{(3^n-1)/2}\}\geq n$.