Si considerino i 9 numeri interi da 1 a 9, i loro reciproci sono tutti maggiori di $\frac{1}{10}$, dunque
$S_9>\frac{9}{10}.$
Ci sono, poi, 90 numeri interi tra 10 e 99, e i loro reciproci sono maggiori di $\frac{1}{100}$, dunque
$S_99>\frac{9}{10}+\frac{90}{100}=2\left(\frac{9}{10}\right).$
Proseguendo con questo ragionamento, si ha che
$S_{10^k-1}>k\left(\frac{9}{10}\right).$
Poiché la successione $\{S_{10^k-1}\}$ è illimitata, la successione degli $S_n$ (e dunque la serie armonica) diverge.
La prossima soluzione è stata data da Honsberger come soluzione di uno degli esercizi del suo libro (Mathematical Gems II).
Si noti che $\forall x\neq 0$, si ha $e^x>1+x$.
Si consideri la successione $\{e^{S_n}\}_{n=1}^{+\infty}=\exp\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)=$
$=e^1\cdot e^\frac{1}{2}\cdot e^\frac{1}{3}\cdot\cdot\cdot e^\frac{1}{n}>$
$>(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=$
$=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)=$
$=n+1$.
Poiché la successione $\{e^{S_n}\}$ non è limitata, non lo è neanche $\{S_n\}$.
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