Andate su google, scrivete nel box di ricerca finding chuck norris, e cliccate su "Mi sento fortunato"!!!
Io ho riso come uno scemo per 10 minuti!
P.S. Grazie Sofia per la segnalazione!
29 febbraio 2008
Finding Chuck Norris
Lo so che è vecchia... ma vale sempre la pena!
Andate su google, scrivete nel box di ricerca finding chuck norris, e cliccate su "Mi sento fortunato"!!!
Io ho riso come uno scemo per 10 minuti!
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Io ho riso come uno scemo per 10 minuti!
24 febbraio 2008
Scimmiette e Logocontest
Viso che ale non si degna di caricarlo tra i vari del contest... ecco il mio logo delle scimmiette!
20 febbraio 2008
SOTTOZERO... ovvero Freddure Allucinogene!
Dopo il favoloso "acqua è vita", le Scimmiette Allucinogene ci riprovano e si buttano sull'analisi della freddura e dei luoghi comuni!
Freddura: battuta più o meno spiritosa basata soprattutto su giochi di parole o doppi sensi, dice il DeMauro. Si potrebbe scrivere un trattato sulla freddura, la barzelletta e il racconto umoristico che ne evidenzi le differenze e il sottile ingegno che richiedono. Non si può negare che il sorriso sia l'energia della vita, quella cosa che anche nei momenti più brutti ci rimette nello "schema" mentale della gioia, della felicità e del divertimento (ovviamente quando non è forzata ma è fatta "de core". Anche se...).
Come diceva Chaplin: «Un giorno senza un sorriso è un giorno perso.» (mmh, mi sa che lo sto citando troppo spesso questi giorni...)
Beh, bando alle ciance... Ecco a voi SOTTOZERO:
Freddura: battuta più o meno spiritosa basata soprattutto su giochi di parole o doppi sensi, dice il DeMauro. Si potrebbe scrivere un trattato sulla freddura, la barzelletta e il racconto umoristico che ne evidenzi le differenze e il sottile ingegno che richiedono. Non si può negare che il sorriso sia l'energia della vita, quella cosa che anche nei momenti più brutti ci rimette nello "schema" mentale della gioia, della felicità e del divertimento (ovviamente quando non è forzata ma è fatta "de core". Anche se...).
Come diceva Chaplin: «Un giorno senza un sorriso è un giorno perso.» (mmh, mi sa che lo sto citando troppo spesso questi giorni...)
Beh, bando alle ciance... Ecco a voi SOTTOZERO:
19 febbraio 2008
La serie armonica è divergente (IV)
Questa dimostrazione è stata data da Honsberger nel 1976.
La prossima soluzione è stata data da Honsberger come soluzione di uno degli esercizi del suo libro (Mathematical Gems II).
Si considerino i 9 numeri interi da 1 a 9, i loro reciproci sono tutti maggiori di $\frac{1}{10}$, dunque
$S_9>\frac{9}{10}.$
Ci sono, poi, 90 numeri interi tra 10 e 99, e i loro reciproci sono maggiori di $\frac{1}{100}$, dunque
$S_99>\frac{9}{10}+\frac{90}{100}=2\left(\frac{9}{10}\right).$
Proseguendo con questo ragionamento, si ha che
$S_{10^k-1}>k\left(\frac{9}{10}\right).$
Poiché la successione $\{S_{10^k-1}\}$ è illimitata, la successione degli $S_n$ (e dunque la serie armonica) diverge.
La prossima soluzione è stata data da Honsberger come soluzione di uno degli esercizi del suo libro (Mathematical Gems II).
Si noti che $\forall x\neq 0$, si ha $e^x>1+x$.
Si consideri la successione $\{e^{S_n}\}_{n=1}^{+\infty}=\exp\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)=$
$=e^1\cdot e^\frac{1}{2}\cdot e^\frac{1}{3}\cdot\cdot\cdot e^\frac{1}{n}>$
$>(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=$
$=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)=$
$=n+1$.
Poiché la successione $\{e^{S_n}\}$ non è limitata, non lo è neanche $\{S_n\}$.
18 febbraio 2008
Silenziosamente
"Il silenzio è un dono universale che pochi di noi sanno apprezzare. Forse perché non può essere comprato. I ricchi comprano rumore. L'animo umano si diletta nel silenzio della natura, che si rivela a chi lo cerca."
- Charlie Chaplin, 1922
15 febbraio 2008
La serie armonica è divergente (III)
Vi presento stasera una dimostrazione dovuta a Pietro Mengoli, un matematico bolognese del 1600.
è un caso particolare della disuguaglianza tra media armonica e media aritmetica
Da questa si possono ricavare un gran numero di altre dimostrazioni... si può, per esempio, raggruppare termini consecutivi della serie armonica affinché la loro somma sia $1$: questo condurrà alla sottosuccessione $\{S_{(3^n-1)/2}\}$, il cui termine $n$-esimo è inferiormente limitato da $n$, cioè
Si noti innanzitutto che $\forall n\geq2$E' interessante notare che la disuguaglianza usata da Mengoli$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}=\frac{2n}{n^2-1}>\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}$e dunque
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}>\frac{2}{3}$, $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}>\frac{2}{6}$, $\frac{1}{8}+\frac{1}{10}>\frac{2}{9}$, ecc.
Supponiamo per assurdo che la serie armonica converga ad un qualche valore $S$. Allora
$S = 1+ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right) + ... > $
$ > 1+\frac{3}{3}+\frac{3}{6}+\frac{3}{9} + ... = $
$ = 1+S$.
La contraddizione $S>1+S$ conclude la dimostrazione.
$\forall n\geq2,$ $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}>\frac{2}{n}$,
è un caso particolare della disuguaglianza tra media armonica e media aritmetica
$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}\right)^{-1}<\bar{x}.$
Si può sfruttare questa disuguaglianza per dimostrare che quali che siano due interi positivi $h$ e $k$,$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{k+h}>\frac{2h+2}{h+2k}$.
Da questa si possono ricavare un gran numero di altre dimostrazioni... si può, per esempio, raggruppare termini consecutivi della serie armonica affinché la loro somma sia $1$: questo condurrà alla sottosuccessione $\{S_{(3^n-1)/2}\}$, il cui termine $n$-esimo è inferiormente limitato da $n$, cioè
$\{S_{(3^n-1)/2}\}\geq n$.
14 febbraio 2008
La serie armonica è divergente (II)
Seconda puntata nel nostro viaggio tra le dimostrazioni della serie armonica.
La prossima dimostrazione è molto simile a quella data da Eulero nel 1748 nella sua Introductio in analysin infinitorum. Come prerequisito assumiamo che conosciate gli Sviluppi in Serie di Taylor.
Stasera ho deciso di esagerare e vi posto anche una dimostrazione non rigorosa e con un piccolo baco nell'argomentazione... in cambio vi chiedo di segnalare il baco, così vedo quanti seguono questo ciclo di post (potete usare codice latex nei commenti se volete)!
Per oggi chiudo qui.
Buona notte a tutti,
doc
La prossima dimostrazione è molto simile a quella data da Eulero nel 1748 nella sua Introductio in analysin infinitorum. Come prerequisito assumiamo che conosciate gli Sviluppi in Serie di Taylor.
Innanzitutto Eulero si preoccupò di scrivere lo sviluppo di $\ln(1-x)$ ottenendo$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\sum_{n>4}\frac{x^n}{n}.$A questo punto, il limite per $x\rightarrow 1^+$ di tale sviluppo fornisce$\ln(0)=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\right)$
Da cui la tesi.
Stasera ho deciso di esagerare e vi posto anche una dimostrazione non rigorosa e con un piccolo baco nell'argomentazione... in cambio vi chiedo di segnalare il baco, così vedo quanti seguono questo ciclo di post (potete usare codice latex nei commenti se volete)!
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... = \int_0^1 (1+x+x^2+...+x^{n-1}+...) dx =$
$= \int_0^1 \left(\sum_{k=0}^{+\infty}x^k\right) dx =$
$=\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x}\right) dx = +\infty$
Per oggi chiudo qui.
Buona notte a tutti,
doc
13 febbraio 2008
La serie armonica è divergente (I)
E' ora di cominciare a sfruttare ASCIIMathML.js, altrimenti che l'ho messo a fare?
Quale modo migliore di farlo se non con la più bella equazione della matematica, nella forma che preferisco:
Un giorno vedremo come si dimostra, c'è una strada molto facile, vi basti per ora osservare come trascendenza, potenza, 'immaginarietà', unità e finitezza si uniscano in una danza verso lo 0, il padre dei numeri (vedi il saggio "Sugli insiemi numerici"), un numero sottovalutato ma che raggiunge il cuore della matematica, una geniale intuizione!
Abbandoniamo la vena mistica e poetica per concentrarci sul problema che voglio introdurre con questo post: la convergenza della serie armonica, o meglio, la sua divergenza.
Prima di cominciare, forse è il caso di introdurre la serie armonica.Si tratta della semplice somma di razionali positivi
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$
ed è una delle più celebrate formule della matematica, nonché uno dei più chiari esempi del fatto che per avere la convergenza della serie non è sufficiente che i termini della somma tendano a zero. Inoltre è particolarmente interessante notare che basta modificare di pochissimo (addirittura di un $\epsilon$ positivo) tale serie per avere la convergenza (infatti $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}$ converge per $s>1$ e non solo... provate a chiedere a google della Zeta di Riemann o a leggere la presentazione "La Zeta di Riemann").
Molti di voi avranno già storto il naso pensando che non è affatto ovvio che la somma di cui sopra sia divergente, anzi, a occhio, verrebbe da pensare che possa avere un limite finito e nemmeno tanto lontano da 1... lo scopo di questo post (e di altri che lo seguranno) è di mostrarvi che in effetti non vi sto mentendo. La serie armonica è divergente! Alcuni fortunati si renderanno anche conto del fatto che le dimostrazioni di tale divergenza sono, oltre che molte, molto educative.
Prima di iniziare è bene fissare almeno una notazione. Chiamiamo $S_k$ il troncamento della somma al termine $k$-esimo: $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n}.$
Cominciamo con quella che si ritiene essere la dimostrazione più antica, formulata da Nicola d'Oresme attorno al 1350 d.C.
Si noti che usando lo stesso procedimento, si può dimostrare che per ogni intero positivo N, si ha $S_{N^k}\geq 1+k\left(\frac{N-1}{N}\right).$
Quale modo migliore di farlo se non con la più bella equazione della matematica, nella forma che preferisco:
$e^{i\pi}+1=0$
Un giorno vedremo come si dimostra, c'è una strada molto facile, vi basti per ora osservare come trascendenza, potenza, 'immaginarietà', unità e finitezza si uniscano in una danza verso lo 0, il padre dei numeri (vedi il saggio "Sugli insiemi numerici"), un numero sottovalutato ma che raggiunge il cuore della matematica, una geniale intuizione!
Abbandoniamo la vena mistica e poetica per concentrarci sul problema che voglio introdurre con questo post: la convergenza della serie armonica, o meglio, la sua divergenza.
Prima di cominciare, forse è il caso di introdurre la serie armonica.Si tratta della semplice somma di razionali positivi
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$
ed è una delle più celebrate formule della matematica, nonché uno dei più chiari esempi del fatto che per avere la convergenza della serie non è sufficiente che i termini della somma tendano a zero. Inoltre è particolarmente interessante notare che basta modificare di pochissimo (addirittura di un $\epsilon$ positivo) tale serie per avere la convergenza (infatti $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}$ converge per $s>1$ e non solo... provate a chiedere a google della Zeta di Riemann o a leggere la presentazione "La Zeta di Riemann").
Molti di voi avranno già storto il naso pensando che non è affatto ovvio che la somma di cui sopra sia divergente, anzi, a occhio, verrebbe da pensare che possa avere un limite finito e nemmeno tanto lontano da 1... lo scopo di questo post (e di altri che lo seguranno) è di mostrarvi che in effetti non vi sto mentendo. La serie armonica è divergente! Alcuni fortunati si renderanno anche conto del fatto che le dimostrazioni di tale divergenza sono, oltre che molte, molto educative.
Prima di iniziare è bene fissare almeno una notazione. Chiamiamo $S_k$ il troncamento della somma al termine $k$-esimo: $\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n}.$
Cominciamo con quella che si ritiene essere la dimostrazione più antica, formulata da Nicola d'Oresme attorno al 1350 d.C.
Si consideri la sottosuccessione $\{S_{2^k}\}_{k=0,...,+\infty}$. Si ha:
- $S_1=1=1+0\left(\frac{1}{2}\right)$
- $S_2=1+\frac{1}{2}=1+1\left(\frac{1}{2}\right)$
- $S_4=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)>$
$>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+2\left(\frac{1}{2}\right)$
- $S_8=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)>$
$>1+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+3\left(\frac{1}{2}\right)$
In generale, $S_{2^k}\geq 1+k\left(\frac{1}{2}\right)$.
Poiché la sottosuccessione $\{S_{2^k}\}$ è divergente, anche la successione $\{S_k\}$ lo è.
Si noti che usando lo stesso procedimento, si può dimostrare che per ogni intero positivo N, si ha $S_{N^k}\geq 1+k\left(\frac{N-1}{N}\right).$
11 febbraio 2008
Test di ASCIIMathML.js
Visto che ci sono alcuni articoli che richiedono un po' di formule che stanno aspettando di poter essere pubblicati, questi giorni tra una pausa e l'altra ho cercato un modo per inserirle che mi faccia evitare di doverle trasformare in immagini... e mi sono imbattuto in ASCIIMathML.
Siccome potete andare a vedere sul sito come funziona, ve lo risparmio. Vi basti sapere che è una sorta di "parser" che scorre la pagina alla ricerca di formule scritte in LaTex e le trasforma in formule in MathML visibili gradevolmente per tutti i possessori degli ultimi Firefox/Mozilla/Safari/Opera/InternetExplorer.
Se non le visualizzate correttamente vuol dire che è ora di aggiornare il vostro browser.
Cominciamo il test...
Uso di forumle ASCIIMath tra accenti rovesciati
`sum_(i=1)^n i=(n(n+1))/2`
o di formule LaTeX tra i segni di \$
$\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx=1$.
E qui un semplice grafico:
agraph plot(sin(x)) endagraph
seguito da uno più elaborato (provate con un doppio click,magari mentre tenete premuto Shift o Alt...):
agraph
width=300; height=200; xmin=-5; xmax=5; xscl=1;
plot((x-2)*(x-1)*x*(x+1)*(x+2)/2,-2.5,2.5);
endagraph
Siccome potete andare a vedere sul sito come funziona, ve lo risparmio. Vi basti sapere che è una sorta di "parser" che scorre la pagina alla ricerca di formule scritte in LaTex e le trasforma in formule in MathML visibili gradevolmente per tutti i possessori degli ultimi Firefox/Mozilla/Safari/Opera/InternetExplorer.
Se non le visualizzate correttamente vuol dire che è ora di aggiornare il vostro browser.
Cominciamo il test...
Uso di forumle ASCIIMath tra accenti rovesciati
`sum_(i=1)^n i=(n(n+1))/2`
o di formule LaTeX tra i segni di \$
$\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx=1$.
E qui un semplice grafico:
agraph plot(sin(x)) endagraph
seguito da uno più elaborato (provate con un doppio click,magari mentre tenete premuto Shift o Alt...):
agraph
width=300; height=200; xmin=-5; xmax=5; xscl=1;
plot((x-2)*(x-1)*x*(x+1)*(x+2)/2,-2.5,2.5);
endagraph
08 febbraio 2008
Giochino di carta...
Ho in testa quattro articoletti matematico/fisico/metafisici ma devo imparare MathML e vedere se posso usarlo qui sul blog... nel frattempo, prima che vi parli seriamente di origami, beccatevi questo giochetto di carta.
03 febbraio 2008
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