14 febbraio 2008

La serie armonica è divergente (II)

Seconda puntata nel nostro viaggio tra le dimostrazioni della serie armonica.

La prossima dimostrazione è molto simile a quella data da Eulero nel 1748 nella sua Introductio in analysin infinitorum. Come prerequisito assumiamo che conosciate gli Sviluppi in Serie di Taylor.
Innanzitutto Eulero si preoccupò di scrivere lo sviluppo di $\ln(1-x)$ ottenendo
$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\sum_{n>4}\frac{x^n}{n}.$
A questo punto, il limite per $x\rightarrow 1^+$ di tale sviluppo fornisce
$\ln(0)=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\right)$

Da cui la tesi.

Stasera ho deciso di esagerare e vi posto anche una dimostrazione non rigorosa e con un piccolo baco nell'argomentazione... in cambio vi chiedo di segnalare il baco, così vedo quanti seguono questo ciclo di post (potete usare codice latex nei commenti se volete)!
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... = \int_0^1 (1+x+x^2+...+x^{n-1}+...) dx =$
$= \int_0^1 \left(\sum_{k=0}^{+\infty}x^k\right) dx =$
$=\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x}\right) dx = +\infty$

Per oggi chiudo qui.
Buona notte a tutti,
doc

6 commenti:

Josh Lotherfeld ha detto...

Vediamo se mi ricordo come si scrive!

$x^{n-1}$ vuole le graffe ;)

Un saluto

iRick ha detto...

Sto mobilitando tutto il dipartimento di fisica. Ti farò sapere ;)

professore ha detto...

Mmmh, si può passare così impunemente al limite sotto al segno di integrale?

(Noticina di LaTeX: invece di scrivere $\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ dovresti scrivere
$\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$

(argh, l'anteprima del commento non mi fa vedere l'output LaTeX, spero di non aver fatto errori... e non sono sicuro che \dots sia abbastanza intelligente da capire dove vanno i puntini - provo anche con \cdots qua sotto:

$\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

)

professore ha detto...

[Il parser non è stato molto intelligente, invece: ha interpretato "\dots" come "\dot s")

doc ha detto...

eheheh Prooof... avevo già provato sia $\cdots$ che $\dots$ ma il primo graficamente non mi ispirava e il secondo non funziona... dovrei modificare lo script ma non ne avevo (ho) voglia :P

iRick ha detto...

Mi sa che ormai l'avete detto, cmq la mia soluzione era che lo scambio limite<->integrale è illecita in questo caso, ma non mi ricordo più come si dimostra...