Dense Potenze!

Chi studia sistemi dinamici, in genere, comincia a farlo analizzando esempi semplici che possano mettere in luce il significato delle proprietà che si vorrebbe studiare. Uno dei primi esempi che viene dato riguarda la cosiddetta "rotazione sul toro" o "sulla circonferenza". Non spaventatatevi! Cercherò di semplificare il discorso al massimo, per cui scusate se non sarò troppo preciso e formale.

Il toro, per i matematici, non è altro che la classica ciambella (vedi post: gli psicotori). E sempre per i matematici, il toro che corrisponde alla ciambella è una superficie bi-dimensionale, solo che per vederla così come la immaginiamo c'è da disegnarla nello spazio tridimensionale (prometto che spiegherò bene questo concetto in un altro post, prima o poi).

Se abbassiamo la dimesione, e andiamo a cercare di capire cosa sia il toro uno-dimensionale, fidatevi se vi dico che è praticamente la circonferenza. In genere, i matematici (e non solo) indicano i tori 1-dimensionali e le circonferenze 1-dimensionali con i simboli $ T^1$ e $ S^1$ rispettivamente.

Non per complicare ancora le idee, ma c'è sempre un modo di lavorare sulla circonferenza immaginandola come il segmento semiaperto $ [0,1)$ . Cioè è possibile mettere in relazione tutti i punti dell'intervallo $ [0,1)$ (in cui non consideriamo l'1) e la circonferenza. L'idea dietro a questo fatto è semplicissima: imamginiamo di prendere il segmento ed arrotolarlo incollando i punti 0 e 1, otterremmo la circonferenza; allo stesso modo se tagliamo la circonferenza in un punto e la apriamo chiamando una estremità 0 e l'altra 1, abbiamo il segmento cercato.

Bene, arrivati a questo punto abbiamo tutto. La cosiddetta rotazione sul toro o sulla circonferenza è una funzione $ R_\alpha:S^1\rightarrow S^1$ (vedi figura) o, per come la formuliamo noi, $ R_\alpha:[0,1)\rightarrow[0,1)$ definita come segue

$ R_\alpha x = x + \alpha\; (mod\, 1) \quad \alpha\in [0,1)$

La cosa interessante è osservare cosa succede reiterando questa funzione (che in genere viene chiamata mappa) su se stessa, cioè fissando un certo punto iniziale e poi applicando successivamente la mappa su se stessa.

Se ad esempio $ \alpha=1/3$ e il nostro punto iniziale fosse $ x_0=0$ avremmo

$ x_0=0$
$ R_{1/3} x_0 = 0 + 2/3\; (mod\, 1)$
$ R_{1/3}^2 x_0 = R_{1/3}(R_{1/3} x_0)= (0 + 1/3) + 1/3\; (mod\, 1) = 2/3$
$ R_{1/3}^3 x_0 = 0 + 3/3\; (mod\, 1) = 1\; (mod\, 1) = 0$
e così via...

Questo perché l'operazione $ (mod\, 1)$ è definita come la parte frazionaria del numero che abbiamo, per cui se arriviamo ad $ 1$ o lo superiamo, dobbiamo prendere la parte a sinistra della virgola e farla diventare $ 0$ . Per caprci: $ 5,23897\; (mod\, 1) = 0,23897$ .

L'insieme dei punti $ \{R_\alpha^n x\}=\{x, R_\alpha x, R_\alpha^2 x, ...\}$ si chiama orbita del punto $ x$ .

Si può dimostrare, e se qualcuno lo richiede nei commenti lo faccio in un altro post, che indipendentemente dal punto $ x$ considerato, se $ \alpha$ è un numero razionale l'orbita è periodica (cioè ha un numero finito di elementi che si ripetono, come nel caso $ \alpha=1/3$ visto sopra) mentre se $ \alpha$ è irrazionale l'orbita è densa in $ [0,1)$ , cioè si avvicina a piacere ad ogni punto dell'intervallo fino a coprirlo praticamente tutto (o meglio, non lo ricopre proprio tutto, ma lascia degli spazi così piccoli che potete scegliere a piacere quanto volete arrivare vicino ad un numero qualunque nell'intervallo).

Cosa ce ne frega a noi di questa cosa?

Potenzialmente nulla, però c'è un teorema di Teoria dei Numeri molto carino che può essere facilmente dimostrato sfruttando il fatto che le rotazioni di angolo irrazionale sulla circonferenza sono dense.

Teorema: Scelta una sequenza di cifre a piacere, esiste un numero naturale $ n$ per cui l'espansione decimale di $ 2^n$ inizia con tale sequenza di cifre.

Si noti che l'espansione decimale di un numero non è altro che il numero scritto, come usuale, in base dieci.

Dimostrazione. Innanzitutto una premessa notazionale: $ Log\, x\equiv log_{10} x$ , cioè indichiamo con $ Log\, x$ il logaritmo in base 10 di $ x$ .

Converrete tutti con me che esistono $ q_n\in[0,10)$ e $ k_n$ numero intero tali che $ 2^n = 10^{k_n} q_n$ , significa semplicemente che stiamo scrivendo $ 2^n$ in notazione scientifica (o quasi).

Ma, applicando il logartimo in base 10 si ha che

$ n\, Log\, 2 = Log\, 2^n = Log\, q_n + k_n$ .

Tenendo conto del fatto che $ Log\, 2$ è irrazionale (perché non esistono due interi $ k$ e $ p$ lai che $ 10^k=2^p$ ), se rigiriamo la somma possiamo osservare che

$ Log\, q_n = n\, Log\, 2\; (mod\, 1) = R_{Log\, 2}^n 0$ .

Ma sappiamo che l'orbita della rotazione con angolo irrazionale (in questo caso $ Log\, 2$ ) è densa sull'intervallo, cioè $ \{R_{Log\, 2}^n 0\}=\{Log\, q_n\}$ è densa in $ [0,1)$ . Quindi, l'insieme $ \{q_n\}$ è denso in $ [0,10)$ . Q.E.D.


Magari per qualcuno non è chiaro perché la dimostrazione finisce così, con la denistà in $ [0,10)$ . Cercherò di spiegarlo con un esempio: fissiamo una sequenza di cifre, così a caso direi $ 439804$ , possiamo riscrivere il numero come $ 4,39804$ , in modo che appartenga all'intervallo $ [0,10)$ . La densità degli $ q_n$ in quell'intervallo ci dice che esiste un $ n$ , magari grande, per cui andiamo a finire vicini a piacere a quel numero, cioè per cui $ q_n$ ha le sue prime cifre che coincidono con quel numero. Nel nostro caso, se prendiamo $ n=42$ possiamo osservare che $ 2^{42}=4398046511104$ , cioè $ q_{42}=4,398046511104$ e $ k=12$ cioè $ 2^{42}=10^{12}q_{42}$ .
Attenzione, proprio grazie alla densità, sappiamo che $ q_n$ torna non una ma un'infinità di volte vicino al numero che abbiamo scelto, per cui esistono certamente anche altri valori di $ n$ tali che le prime cifre dell'espansione di $ 2^n$ sono proprio $ 439804$ !!!

Qualcuno avrà già notato che ci sono mille modi di estendere questo risultato.. ad esempio che la base non sia 2 ma un altro numero... lascio a voi il diverimento (e il compito) di farlo (se vi va)!