Carnevale della Matematica #34

Ebbene si, anche questo mese è arrivato il nuovo Carnevale della Matematica. Su Rangle troverete una quantità incredibile di post matematicosi catalogti e descritti con maestria! Che aspettate? Correte!

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Weihnachtsübungen parte seconda

E va bene... abbiamo visto nella scorsa puntata una curva di lunghezza infinita che si può facilmente racchiudere in un rettangolo... Se avete dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia relativa alla Curva di Koch, avrete quasi certamente letto che Mandelbrot l'aveva proposta come modello semplificato di una costa. Se, ora, pensate ad una costa e ve la immaginate da molto lontano, vi rendete conto che un buon modello per una costa è dato, almeno se guardato da lontano, da una curva chiusa. Cerchiamo di usare la curva di Koch per creare un isola... Consideriamo un triangolo equilatero di lato $ 1 $ e applichiamo la procedura per costruire la curva di Koch ai suoi tre lati, quello che otteniamo è il fiocco di neve di Koch, una una figura come quella qui sotto:

Il terzo punto dell'esercizio chiedeva: quale è l'area del fiocco di neve $ A_n $ ad ogni passo $ n $ -esimo della costruzione? E quale è il limite per $ n $ che tende all' $ \infty $ ? Sappiamo che il perimetro è infinito: abbiamo calcolato l'altro giorno che la curva di Koch ha lunghezza infinita, per costruire il fiocco di neve ne usiamo addirittura $ 3 $ :)

L'area può essere calcolata in 3 passaggi:

• l'area del triangolo equilatero di lato $ 1 $ è $ 1/2 \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 1 $ ( lato per radice di 3 diviso 2 per il lato per un mezzo ) quindi $ A_0 = \sqrt{3}/4 $ e possiamo aggiungerla al totale direttamente in un secondo momento;
• l'area che resta da calcolare è $ 3 $ volte quella racchiusa sotto una curva di Koch;
• l'area sotto una curva di Koch è calcolabile sommando l'area dei triangolini che di volta in volta si vengono a costruire (e che sono si volta in volta equivalenti)

Quindi $ A_n = \sqrt{3}/4 + 3\cdot 'somma.aree.aggiunte.ad.ogni.passaggio' $ .

Quindi cerchiamo di capire quale è l'area che si aggiunge ad ogni passaggio:

1. abbiamo solo un nuovo triangolino equilatero di lato $ 1/3 $ di quello iniziale, quindi la sua area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9 $ e di conseguenza $ A_1 = \sqrt{3}/4 ( 1 + 3\cdot 1/9) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3 ) $ ;
2. rispetto al passaggio precedente abbiamo $ 4 $ nuovi triangolini di lato $ 1/9 $ e quindi $ 3 $ triangolini di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^2 $ . Questo vuol dire che $ A_2 = \sqrt{3}/4 (1+ 3\cdot(1/9 + 4\cdot 1/9^2)) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3^1 + 4^1/3^3) $ .
3. Procedendo in questo modo, si scopre presto che al passo $ n $ -esimo si hanno oltre ai triangoli del passo $ n-1 $-esimo, $ 4^{n-1} $ nuovi triangolini di lato $ 1/9^n $ , e dunque di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^{2n} $ . Pertanto $$ A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}}\right). $$

A questo punto per calcolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n $ basterà saper calcolare il limite di una serie geometrica. Cerchiamo di fare qualche passaggio in più del necessario...

Si può dimostrare che $ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $ , nel nostro caso quindi $$ \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}} = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^n \frac{4^{i}}{3^{2i}} = \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} .$$

Siccome $ 4/9<1 $, la funzione $(4/9)^x$ tende a schiacciarsi molto in fretta verso lo $ 0 $ al crescere della $ x $:
\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=5; ymin=0; plot((4/9)^x);\end{graph}
In particolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} (4/9)^n = 0 $. Quindi $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} = 27/20 $.

A questo punto dovrebbe essere chiaro che $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{27}{20}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{5} $! Cioè questo fiocco di neve (o anche questa piccola isola) ha un perimetro infinito ma, nonostante questo, la sua area resta finita!!

Se ci pensate bene questa è una cosa davvero strana: pensate ad un rettangolo o un pentagono, l'unico modo che hanno per avere perimetro infinito sarebbe avere uno o più lati infiniti e quindi non sarebbe possibile disegnarli. E non si tratta soltanto di un problema de processi infiniti: pensate di continuare ad aggiungere lati sempre più piccoli ottenendo ad ogni passo una figura regolare... probabilmente otterrete una circonferenza, eppure anche quella ha una lunghezza finita e ben definita.

La prossima volta cercheremo di trovare qualche altra stranezza...

Farfalle Matematiche

Alcuni di voi conosceranno Tom Beddard, di subblue, per il magnifico video "Surface Detail" in cui si può ammirare la magnifica evoluzione di una superficie frattale: se avete visto il video e guardate l'immagine che ho postato qui sotto capirete subito di chi si tratta...

Questa mattina, su Neatorama, era segnalato un suo vecchio progetto: "Butterfly Curves" del 2008. Riprendendo una formula pubblicata da Clifford Pickover in Computers and the Imagination, Beddard ha creato un bel programmino in flash che vi permette di disegnare le vostre farfalle matematiche personalizzate.

La formula utilizzata, in coordinate polari, è

Cambiandone i parametri potete vedere la magia della matematica: la vostra curva evolve e si trasforma in tempo reale, per distruggersi in una massa caotica e riapparire misteriosamente in una nuova inaspettata forma ordinata e regolare!

Potete divertirvi a creare le vostre farfalle cliccando qui: Butterfly Curves


Con questo posto vi segnalo anche gli ultimi carnevali della fisica e della matematica:

• Carnevale della Matematica #33 da .mau.
• Carnevale della fisica da tvSpace

Weihnachtsübungen parte prima

È giunta l'ora di scrivere qualcosa su quello che si fa qui in Germania... e anche di ricominciare a partecipare ai Carnevali della Matematica visto che ormai sono latitante da tantissimo! Per questo motivo ho deciso di recuperare uno degli esercizi che abbiamo dato agli studenti di Analisi I per le vacanze di Natale, spezzarlo in tre parti e risolverlo brevemente.

Mi è sembrato carino e interessante perché si tratta di esercizi fattibili tranquillamente anche da ragazzi di quinto superiore (i concetti più esoterici sono quelli di limite e successione, ci torneremo sopra tra poco) e che aprono le porte alle tante stranezze che si trovano nella matematica...

Parleremo di frattali, figure definite da alcuni patologie e da altri arte sublime, limiti di processi analitici e algebrici, misteriose figure dalle infinite regolarità irregolari. Ma prima... chidiamo aiuto a Wikipedia e facciamo un breve ripasso (molto a grandi linee) dei concetti di cui avremo bisogno:

• In matematica, una successione di numeri razionali può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da una infinità numerabile di frazioni, dette termini della successione, tra le quali sia possibile distinguere una prima (che indicheremo $ a_0 $ ), una seconda ( $ a_1 $ ), una terza ( $ a_2 $ ) e in generale una $ n $ -esima ( $ a_n $ ) per ogni intero $ n $ . Gli elementi della serie sono dunque ordinati e possono essere indicati come $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ o più semplicemente $ a_0, a_1, \dots, a_n, \dots $ .
  
• Nell'analisi matematica il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini. In altre parole si tratta di un modo compatto per scrivere la somma di tanti termini. Se volessimo sommare i primi $ n $ elementi della successione scriveremo $ \sum_{i=0}^n a_i $ che sta appunto per $ a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n $ . [Nota: questo ci servirà nel prossimo post]
• Il limite di una successione $ (a_n) $ di numeri reali è un numero a a cui la successione "si avvicina sempre di più". Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:
  Per ogni $ \epsilon > 0 $ esista un numero naturale $ N $ tale che $ | a_n - a | < \epsilon $ per ogni $ n > N $ . In tal caso si dice che $ \lim_{n\rightarrow+\infty} a_n = a $ . Se tale $ N $ non esiste la successione si dice divergente (o in un certo senso tendente all' $ \infty $ ).

Per esempi pratici e più semplici vi rimando direttamente alle pagine di Wikipedia linkate qui sopra. Detto questo andiamo a vedere quale è il testo del primo problema...

Si proceda con la seguente costruzione

1. Si consideri il segmento identificato con l'intervallo $ l_0=[0,1]\subset\mathbb{R} $ .
2. Si divida l'intervallo in tre parti uguali, si tolga il segmento centrale e si sostituisca con due segmenti della stessa lunghezza di quello rimosso, posizionati come se fossero i lati di un triangolo equilatero al quale si è tolta la base.
3. Si ripeta la procedura a partire dal punto 1. per ogni segmento ottenuto

Partendo dal segmento unitario e ripetendo 4 volte la costruzione si ottiene la seguente figura

La curva ottenuta si chiama curva di Koch ed è nota per essere un esempio di curva continua e non differenziabile in ogni punto (ok ok, non dirò più certe parolacce). Si tratta di una curva che ha diviso i matematici sin dall'inizio... Cesàro ne ha parlato così: "È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo". Mentre Hermite dichiarava di "ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata".

Per quanto riguarda il nostro problema, ci chiede: quanto è lunga? Si può trovare una formula per descrivere la lunghezza della curva ad ogni passo $ l_n $ della costruzione e calcolare $ \lim_{n\rightarrow+\infty} l_n $ .

Facciamo un po' di euristica... al primo passo $ l_0 $ abbiamo solo un segmento ( $ 1 = 4^0 $ ) di lunghezza $ 1 $ ( $ 1=1/3^0 $ ) pertanto $ l_0 = 1\cdot 1 = 1 $ .

Al passo successivo i segmenti sono diventati $ 4 $ ed hanno tutti lunghezza $ 1/3 $ , per cui $ l_1 = 4 \cdot 1/3 = 4/3 = 1,3333333 $ .

Ripetendo di nuovo il procedimento avremo che per ognuno dei 4 segmenti precedenti ci sono $ 4 $ nuovi segmenti di lunghezza $ 1/3 $ dei precedenti, per cui i segmenti sono diventati $ 4\cdot 4 = 4^2 = 16 $ e hanno lunghezza $ 1/3 \cdot 1/3 = 1/3^2 = 1/9 $ . Pertanto $ l_2 = 4^2 \cdot 1/3^2 = (4/3)^2 = 16/9 = 1,7777777 $ .

Dovrebbe essere ormai abbastanza chiaro quello che succede portando avanti il procedimento. Infatti già dai primi passaggi si può intuire che i segmenti quadruplicano di volta in volta e la loro lunghezza si riduce ad un terzo di quella precedente. Questo vuol dire che all' $ n $ -esimo passaggio i segmenti saranno $ 4^n $ e la lunghezza di ognuno di loro sarà $ 1/3^n $ . Perciò $ l_n = 4^n/3^n = (4/3)^n $ .

A questo punto molti di voi sapranno già quale è il limite che otterremo, ma facciamo un passo indietro e cerchiamo di capire quale è l'andamento di $ (4/3)^x $ per farci un'idea di cosa aspettarci:

\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=10; ymin=1; plot((4/3)^x);\end{graph}

Siccome $ 4/3 > 1 $ la funzione $ (4/3)^x $ è crescente, cioè più la $ x $ è grande e più la funzione è grande, e questo riportato al discorso del limite fa in modo che $ \lim_{n\rightarrow+\infty}(4/3)^n = +\infty $ cioè il limite diverge. Tirando le somme, quella simpatica figura che avete visto sopra (contenuta in qualche manciata di pixel) ha una lunghezza infinita.

Non vi stupisce minimamente? Capisco che si tratta di un processo infinito e difficile da vedere, ma anche al limite la curva non cresce (in maniera visibile) rispetto a quella che vedete in figura eppure la sua lunghezza è infinita. Inoltre si tratta di una curva cosiddetta auto-simile, cioè se zoomate su un suo qualsiasi segmento vi ritroverete un pezzo di curva dal perimetro infinito praticamente identico alla curva iniziale (e quasi sicuramente un po' ruotato).

Ma questa è solo la prima delle sorprese... molte altre devono ancora arrivare con il prossimo post.

P.S. Tutto questo si può provare in modo rigoroso, in particolare sono stato molto superficiale nel descrivere la parte relativa alla divergenza del limite di $ a^n $ quando $ a>1 $ , nel caso a qualche lettore interessi posso tornare sul discorso e fare una dimostrazione rigorosa di questo fatto.

Per ulteriori informazioni:

Curva di Koch (Wikipedia)

Per il pdf originale con gli esercizi (attenti, è in Tedesco):

Blatt 9