Weihnachtsübungen parte seconda

E va bene... abbiamo visto nella scorsa puntata una curva di lunghezza infinita che si può facilmente racchiudere in un rettangolo... Se avete dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia relativa alla Curva di Koch, avrete quasi certamente letto che Mandelbrot l'aveva proposta come modello semplificato di una costa. Se, ora, pensate ad una costa e ve la immaginate da molto lontano, vi rendete conto che un buon modello per una costa è dato, almeno se guardato da lontano, da una curva chiusa. Cerchiamo di usare la curva di Koch per creare un isola... Consideriamo un triangolo equilatero di lato $ 1 $ e applichiamo la procedura per costruire la curva di Koch ai suoi tre lati, quello che otteniamo è il fiocco di neve di Koch, una una figura come quella qui sotto:

Il terzo punto dell'esercizio chiedeva: quale è l'area del fiocco di neve $ A_n $ ad ogni passo $ n $ -esimo della costruzione? E quale è il limite per $ n $ che tende all' $ \infty $ ? Sappiamo che il perimetro è infinito: abbiamo calcolato l'altro giorno che la curva di Koch ha lunghezza infinita, per costruire il fiocco di neve ne usiamo addirittura $ 3 $ :)

L'area può essere calcolata in 3 passaggi:

• l'area del triangolo equilatero di lato $ 1 $ è $ 1/2 \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 1 $ ( lato per radice di 3 diviso 2 per il lato per un mezzo ) quindi $ A_0 = \sqrt{3}/4 $ e possiamo aggiungerla al totale direttamente in un secondo momento;
• l'area che resta da calcolare è $ 3 $ volte quella racchiusa sotto una curva di Koch;
• l'area sotto una curva di Koch è calcolabile sommando l'area dei triangolini che di volta in volta si vengono a costruire (e che sono si volta in volta equivalenti)

Quindi $ A_n = \sqrt{3}/4 + 3\cdot 'somma.aree.aggiunte.ad.ogni.passaggio' $ .

Quindi cerchiamo di capire quale è l'area che si aggiunge ad ogni passaggio:

1. abbiamo solo un nuovo triangolino equilatero di lato $ 1/3 $ di quello iniziale, quindi la sua area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9 $ e di conseguenza $ A_1 = \sqrt{3}/4 ( 1 + 3\cdot 1/9) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3 ) $ ;
2. rispetto al passaggio precedente abbiamo $ 4 $ nuovi triangolini di lato $ 1/9 $ e quindi $ 3 $ triangolini di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^2 $ . Questo vuol dire che $ A_2 = \sqrt{3}/4 (1+ 3\cdot(1/9 + 4\cdot 1/9^2)) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3^1 + 4^1/3^3) $ .
3. Procedendo in questo modo, si scopre presto che al passo $ n $ -esimo si hanno oltre ai triangoli del passo $ n-1 $-esimo, $ 4^{n-1} $ nuovi triangolini di lato $ 1/9^n $ , e dunque di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^{2n} $ . Pertanto $$ A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}}\right). $$

A questo punto per calcolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n $ basterà saper calcolare il limite di una serie geometrica. Cerchiamo di fare qualche passaggio in più del necessario...

Si può dimostrare che $ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $ , nel nostro caso quindi $$ \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}} = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^n \frac{4^{i}}{3^{2i}} = \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} .$$

Siccome $ 4/9<1 $, la funzione $(4/9)^x$ tende a schiacciarsi molto in fretta verso lo $ 0 $ al crescere della $ x $:
\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=5; ymin=0; plot((4/9)^x);\end{graph}
In particolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} (4/9)^n = 0 $. Quindi $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} = 27/20 $.

A questo punto dovrebbe essere chiaro che $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{27}{20}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{5} $! Cioè questo fiocco di neve (o anche questa piccola isola) ha un perimetro infinito ma, nonostante questo, la sua area resta finita!!

Se ci pensate bene questa è una cosa davvero strana: pensate ad un rettangolo o un pentagono, l'unico modo che hanno per avere perimetro infinito sarebbe avere uno o più lati infiniti e quindi non sarebbe possibile disegnarli. E non si tratta soltanto di un problema de processi infiniti: pensate di continuare ad aggiungere lati sempre più piccoli ottenendo ad ogni passo una figura regolare... probabilmente otterrete una circonferenza, eppure anche quella ha una lunghezza finita e ben definita.

La prossima volta cercheremo di trovare qualche altra stranezza...