Nessuna specie conosciuta di renna puo' volare. Ci sono pero' 300.000 specie di organismi viventi ancora da classificare e, mentre la maggioranza di questi organismi e' rappresentata da insetti e germi, questo non esclude completamente l'esistenza di renne volanti, che solo Babbo Natale ha visto.
Ci sono 2 miliardi di bambini (Sotto I 18 anni) al mondo. Dato, pero', che Babbo Natale non tratta con bambini Musulmani, Hindu, Buddisti e Giudei, questo riduce il carico di lavoro al 15% del totale, cioe' circa 378 milioni.
Con una media di 3.5 bambini per famiglia, si ha un totale di 91.8 milioni di locazioni. Si puo' presumere che ci sia almeno UN bambino buono per famiglia.
Babbo Natale ha 31 ore lavorative, grazie ai fusi orari e alla rotazione della Terra, assumendo che viaggi da Est verso Ovest.
Questo porta ad un calcolo di 822.6 visite per secondo.
Questo significa che, per ogni famiglia Cristiana con almeno un bambino buono, Babbo Natale ha circa 1/1000 di secondo per trovare parcheggio (Cosa, questa semplice, dato che Lui parcheggia sul tetto e non ha problemi di divieti di sosta), saltare giu' dalla slitta, scendere dal camino, riempire le calze, distribuire il resto dei doni sotto l'Albero di Natale, mangiare cio' che I bambini mettono a sua disposizione, risalire dal camino, saltare sulla slitta e decollare per la prossima destinazione.
Assumendo che le abitazioni siano distribuite uniformemente (Che sappiamo essere falso, ma accettiamo per semplicita' di calcolo), stiamo parlando di 1,248 Km per ogni fermata, un viaggio totale di 120.000.000 di Km.
Questo implica che la slita di Babbo Natale viaggia a circa 1040 Km/sec, 3000 volte la velocita' del suono. Per comparazione, la sonda spaziale Ulisse (La cosa piu' veloce creata dall'uomo) viaggia appena a 43,84 Km/sec, e una renna media a circa 30 Km/h.
Il carico della slitta aggiunge un altro interessante elemento. Assumendo che ogni bambino riceva una scatola media di Lego (1 kg), la slitta porta 378.000 tonnellate, escludendo Babbo Natale (Notoriamente sovrappeso). Sulla terra, una renna puo' esercitare una forza di trazione di circa 150 Kg. Anche assumendo che una "Renna Volante" possa trainare 10 volte tanto, non e' possibile muovere quella slitta con 8 o 9 renne, ne serviranno circa 214.000. Questo porta il peso, senza contare la slitta, a 575.620 Tonnellate. Per comparazione, questo e' circa 4 volte il peso della nave Queen Elizabeth II.
Sicuramente, 575.620 Tonnellate che viaggiano alla velocita' di 1040 km/sec generano un'enorme resistenza. Questa resistenza riscaldera' le renne allo stesso modo di un'astronave che rientra nell'atmosfera. Il paio di renne di testa assorbira' 14.3 QUINTILIONI di joules per secondo. In breve si vaporizzera' quasi istantaneamente, esponendo il secondo paio di renne e creando assordanti onde d'urto (Bang) soniche.
L'intero team verra' vaporizzato entro 4.26 millesimi di secondo.
Conclusione: Babbo Natale esisteva, ... ma ora e' morto.
[NB: non conosco la fonte, se qualcuno di voi ne è al corrente vi prego di segnalarnela]
31 dicembre 2011
28 dicembre 2011
La Statistica (Trilussa)
Sai ched'è la statistica? È na' cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perch'è c'è un antro che ne magna due.
(Trilussa, La Statistica)
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perch'è c'è un antro che ne magna due.
(Trilussa, La Statistica)
15 febbraio 2011
Carnevale della Matematica #34
Ebbene si, anche questo mese è arrivato il nuovo Carnevale della Matematica. Su Rangle troverete una quantità incredibile di post matematicosi catalogti e descritti con maestria! Che aspettate? Correte!
11 febbraio 2011
31 gennaio 2011
Weihnachtsübungen parte seconda
E va bene... abbiamo visto nella scorsa puntata una curva di lunghezza infinita che si può facilmente racchiudere in un rettangolo... Se avete dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia relativa alla Curva di Koch, avrete quasi certamente letto che Mandelbrot l'aveva proposta come modello semplificato di una costa. Se, ora, pensate ad una costa e ve la immaginate da molto lontano, vi rendete conto che un buon modello per una costa è dato, almeno se guardato da lontano, da una curva chiusa. Cerchiamo di usare la curva di Koch per creare un isola... Consideriamo un triangolo equilatero di lato $ 1 $ e applichiamo la procedura per costruire la curva di Koch ai suoi tre lati, quello che otteniamo è il fiocco di neve di Koch, una una figura come quella qui sotto:
Il terzo punto dell'esercizio chiedeva: quale è l'area del fiocco di neve $ A_n $ ad ogni passo $ n $ -esimo della costruzione? E quale è il limite per $ n $ che tende all' $ \infty $ ? Sappiamo che il perimetro è infinito: abbiamo calcolato l'altro giorno che la curva di Koch ha lunghezza infinita, per costruire il fiocco di neve ne usiamo addirittura $ 3 $ :)
L'area può essere calcolata in 3 passaggi:
Quindi $ A_n = \sqrt{3}/4 + 3\cdot 'somma.aree.aggiunte.ad.ogni.passaggio' $ .
Quindi cerchiamo di capire quale è l'area che si aggiunge ad ogni passaggio:
A questo punto per calcolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n $ basterà saper calcolare il limite di una serie geometrica. Cerchiamo di fare qualche passaggio in più del necessario...
Si può dimostrare che $ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $ , nel nostro caso quindi $$ \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}} = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^n \frac{4^{i}}{3^{2i}} = \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} .$$
Siccome $ 4/9<1 $, la funzione $(4/9)^x$ tende a schiacciarsi molto in fretta verso lo $ 0 $ al crescere della $ x $:
\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=5; ymin=0; plot((4/9)^x);\end{graph}
In particolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} (4/9)^n = 0 $. Quindi $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} = 27/20 $.
A questo punto dovrebbe essere chiaro che $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{27}{20}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{5} $! Cioè questo fiocco di neve (o anche questa piccola isola) ha un perimetro infinito ma, nonostante questo, la sua area resta finita!!
Se ci pensate bene questa è una cosa davvero strana: pensate ad un rettangolo o un pentagono, l'unico modo che hanno per avere perimetro infinito sarebbe avere uno o più lati infiniti e quindi non sarebbe possibile disegnarli. E non si tratta soltanto di un problema de processi infiniti: pensate di continuare ad aggiungere lati sempre più piccoli ottenendo ad ogni passo una figura regolare... probabilmente otterrete una circonferenza, eppure anche quella ha una lunghezza finita e ben definita.
Il terzo punto dell'esercizio chiedeva: quale è l'area del fiocco di neve $ A_n $ ad ogni passo $ n $ -esimo della costruzione? E quale è il limite per $ n $ che tende all' $ \infty $ ? Sappiamo che il perimetro è infinito: abbiamo calcolato l'altro giorno che la curva di Koch ha lunghezza infinita, per costruire il fiocco di neve ne usiamo addirittura $ 3 $ :)
L'area può essere calcolata in 3 passaggi:
- l'area del triangolo equilatero di lato $ 1 $ è $ 1/2 \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 1 $ ( lato per radice di 3 diviso 2 per il lato per un mezzo ) quindi $ A_0 = \sqrt{3}/4 $ e possiamo aggiungerla al totale direttamente in un secondo momento;
- l'area che resta da calcolare è $ 3 $ volte quella racchiusa sotto una curva di Koch;
- l'area sotto una curva di Koch è calcolabile sommando l'area dei triangolini che di volta in volta si vengono a costruire (e che sono si volta in volta equivalenti)
Quindi $ A_n = \sqrt{3}/4 + 3\cdot 'somma.aree.aggiunte.ad.ogni.passaggio' $ .
Quindi cerchiamo di capire quale è l'area che si aggiunge ad ogni passaggio:
- abbiamo solo un nuovo triangolino equilatero di lato $ 1/3 $ di quello iniziale, quindi la sua area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9 $ e di conseguenza $ A_1 = \sqrt{3}/4 ( 1 + 3\cdot 1/9) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3 ) $ ;
- rispetto al passaggio precedente abbiamo $ 4 $ nuovi triangolini di lato $ 1/9 $ e quindi $ 3 $ triangolini di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^2 $ . Questo vuol dire che $ A_2 = \sqrt{3}/4 (1+ 3\cdot(1/9 + 4\cdot 1/9^2)) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3^1 + 4^1/3^3) $ .
- Procedendo in questo modo, si scopre presto che al passo $ n $ -esimo si hanno oltre ai triangoli del passo $ n-1 $-esimo, $ 4^{n-1} $ nuovi triangolini di lato $ 1/9^n $ , e dunque di area $ \sqrt{3}/4 \cdot 1/9^{2n} $ . Pertanto $$ A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}}\right). $$
A questo punto per calcolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n $ basterà saper calcolare il limite di una serie geometrica. Cerchiamo di fare qualche passaggio in più del necessario...
Si può dimostrare che $ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $ , nel nostro caso quindi $$ \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}} = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^n \frac{4^{i}}{3^{2i}} = \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} .$$
Siccome $ 4/9<1 $, la funzione $(4/9)^x$ tende a schiacciarsi molto in fretta verso lo $ 0 $ al crescere della $ x $:
\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=5; ymin=0; plot((4/9)^x);\end{graph}
In particolare $ \lim_{n\rightarrow\infty} (4/9)^n = 0 $. Quindi $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} = 27/20 $.
A questo punto dovrebbe essere chiaro che $ \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{27}{20}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{5} $! Cioè questo fiocco di neve (o anche questa piccola isola) ha un perimetro infinito ma, nonostante questo, la sua area resta finita!!
Se ci pensate bene questa è una cosa davvero strana: pensate ad un rettangolo o un pentagono, l'unico modo che hanno per avere perimetro infinito sarebbe avere uno o più lati infiniti e quindi non sarebbe possibile disegnarli. E non si tratta soltanto di un problema de processi infiniti: pensate di continuare ad aggiungere lati sempre più piccoli ottenendo ad ogni passo una figura regolare... probabilmente otterrete una circonferenza, eppure anche quella ha una lunghezza finita e ben definita.
La prossima volta cercheremo di trovare qualche altra stranezza...
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