Weihnachtsübungen parte seconda

E va bene... abbiamo visto nella scorsa puntata una curva di lunghezza infinita che si può facilmente racchiudere in un rettangolo... Se avete dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia relativa alla Curva di Koch, avrete quasi certamente letto che Mandelbrot l'aveva proposta come modello semplificato di una costa. Se, ora, pensate ad una costa e ve la immaginate da molto lontano, vi rendete conto che un buon modello per una costa è dato, almeno se guardato da lontano, da una curva chiusa. Cerchiamo di usare la curva di Koch per creare un isola... Consideriamo un triangolo equilatero di lato $1$ e applichiamo la procedura per costruire la curva di Koch ai suoi tre lati, quello che otteniamo è il fiocco di neve di Koch, una una figura come quella qui sotto:

Il terzo punto dell'esercizio chiedeva: quale è l'area del fiocco di neve $A_n$ ad ogni passo $n$ -esimo della costruzione? E quale è il limite per $n$ che tende all' $\infty$ ? Sappiamo che il perimetro è infinito: abbiamo calcolato l'altro giorno che la curva di Koch ha lunghezza infinita, per costruire il fiocco di neve ne usiamo addirittura $3$ :)

L'area può essere calcolata in 3 passaggi:

• l'area del triangolo equilatero di lato $1$ è $1/2 \cdot \sqrt{3}/2 \cdot 1$ ( lato per radice di 3 diviso 2 per il lato per un mezzo ) quindi $A_0 = \sqrt{3}/4$ e possiamo aggiungerla al totale direttamente in un secondo momento;
• l'area che resta da calcolare è $3$ volte quella racchiusa sotto una curva di Koch;
• l'area sotto una curva di Koch è calcolabile sommando l'area dei triangolini che di volta in volta si vengono a costruire (e che sono si volta in volta equivalenti)

Quindi $A_n = \sqrt{3}/4 + 3\cdot 'somma.aree.aggiunte.ad.ogni.passaggio'$ .

Quindi cerchiamo di capire quale è l'area che si aggiunge ad ogni passaggio:

1. abbiamo solo un nuovo triangolino equilatero di lato $1/3$ di quello iniziale, quindi la sua area $\sqrt{3}/4 \cdot 1/9$ e di conseguenza $A_1 = \sqrt{3}/4 ( 1 + 3\cdot 1/9) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3 )$ ;
2. rispetto al passaggio precedente abbiamo $4$ nuovi triangolini di lato $1/9$ e quindi $3$ triangolini di area $\sqrt{3}/4 \cdot 1/9^2$ . Questo vuol dire che $A_2 = \sqrt{3}/4 (1+ 3\cdot(1/9 + 4\cdot 1/9^2)) = \sqrt{3}/4 ( 1 + 1/3^1 + 4^1/3^3)$ .
3. Procedendo in questo modo, si scopre presto che al passo $n$ -esimo si hanno oltre ai triangoli del passo $n-1$-esimo, $4^{n-1}$ nuovi triangolini di lato $1/9^n$ , e dunque di area $\sqrt{3}/4 \cdot 1/9^{2n}$ . Pertanto $$A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}}\right).$$

A questo punto per calcolare $\lim_{n\rightarrow\infty} A_n$ basterà saper calcolare il limite di una serie geometrica. Cerchiamo di fare qualche passaggio in più del necessario...

Si può dimostrare che $\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ , nel nostro caso quindi $$\sum_{i=1}^n \frac{4^{i-1}}{3^{2i-1}} = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^n \frac{4^{i}}{3^{2i}} = \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} .$$

Siccome $4/9<1$, la funzione $(4/9)^x$ tende a schiacciarsi molto in fretta verso lo $0$ al crescere della $x$:
$$\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=5; ymin=0; plot((4/9)^x);\end{graph}$$
In particolare $\lim_{n\rightarrow\infty} (4/9)^n = 0$. Quindi $\lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{4}\; \frac{1-(4/9)^n}{1-4/9} = 27/20$.

A questo punto dovrebbe essere chiaro che $\lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{27}{20}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{5}$! Cioè questo fiocco di neve (o anche questa piccola isola) ha un perimetro infinito ma, nonostante questo, la sua area resta finita!!

Se ci pensate bene questa è una cosa davvero strana: pensate ad un rettangolo o un pentagono, l'unico modo che hanno per avere perimetro infinito sarebbe avere uno o più lati infiniti e quindi non sarebbe possibile disegnarli. E non si tratta soltanto di un problema de processi infiniti: pensate di continuare ad aggiungere lati sempre più piccoli ottenendo ad ogni passo una figura regolare... probabilmente otterrete una circonferenza, eppure anche quella ha una lunghezza finita e ben definita.

La prossima volta cercheremo di trovare qualche altra stranezza...

Farfalle Matematiche

Alcuni di voi conosceranno Tom Beddard, di subblue, per il magnifico video "Surface Detail" in cui si può ammirare la magnifica evoluzione di una superficie frattale: se avete visto il video e guardate l'immagine che ho postato qui sotto capirete subito di chi si tratta...

Questa mattina, su Neatorama, era segnalato un suo vecchio progetto: "Butterfly Curves" del 2008. Riprendendo una formula pubblicata da Clifford Pickover in Computers and the Imagination, Beddard ha creato un bel programmino in flash che vi permette di disegnare le vostre farfalle matematiche personalizzate.

La formula utilizzata, in coordinate polari, è

Cambiandone i parametri potete vedere la magia della matematica: la vostra curva evolve e si trasforma in tempo reale, per distruggersi in una massa caotica e riapparire misteriosamente in una nuova inaspettata forma ordinata e regolare!

Potete divertirvi a creare le vostre farfalle cliccando qui: Butterfly Curves


Con questo posto vi segnalo anche gli ultimi carnevali della fisica e della matematica:

• Carnevale della Matematica #33 da .mau.
• Carnevale della fisica da tvSpace

Weihnachtsübungen parte prima

È giunta l'ora di scrivere qualcosa su quello che si fa qui in Germania... e anche di ricominciare a partecipare ai Carnevali della Matematica visto che ormai sono latitante da tantissimo! Per questo motivo ho deciso di recuperare uno degli esercizi che abbiamo dato agli studenti di Analisi I per le vacanze di Natale, spezzarlo in tre parti e risolverlo brevemente.

Mi è sembrato carino e interessante perché si tratta di esercizi fattibili tranquillamente anche da ragazzi di quinto superiore (i concetti più esoterici sono quelli di limite e successione, ci torneremo sopra tra poco) e che aprono le porte alle tante stranezze che si trovano nella matematica...

Parleremo di frattali, figure definite da alcuni patologie e da altri arte sublime, limiti di processi analitici e algebrici, misteriose figure dalle infinite regolarità irregolari. Ma prima... chidiamo aiuto a Wikipedia e facciamo un breve ripasso (molto a grandi linee) dei concetti di cui avremo bisogno:

• In matematica, una successione di numeri razionali può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da una infinità numerabile di frazioni, dette termini della successione, tra le quali sia possibile distinguere una prima (che indicheremo $a_0$ ), una seconda ( $a_1$ ), una terza ( $a_2$ ) e in generale una $n$ -esima ( $a_n$ ) per ogni intero $n$ . Gli elementi della serie sono dunque ordinati e possono essere indicati come $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ o più semplicemente $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$ .
  
• Nell'analisi matematica il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini. In altre parole si tratta di un modo compatto per scrivere la somma di tanti termini. Se volessimo sommare i primi $n$ elementi della successione scriveremo $\sum_{i=0}^n a_i$ che sta appunto per $a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$ . [Nota: questo ci servirà nel prossimo post]
• Il limite di una successione $(a_n)$ di numeri reali è un numero a a cui la successione "si avvicina sempre di più". Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:
  Per ogni $\epsilon > 0$ esista un numero naturale $N$ tale che $| a_n - a | < \epsilon$ per ogni $n > N$ . In tal caso si dice che $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n = a$ . Se tale $N$ non esiste la successione si dice divergente (o in un certo senso tendente all' $\infty$ ).

Per esempi pratici e più semplici vi rimando direttamente alle pagine di Wikipedia linkate qui sopra. Detto questo andiamo a vedere quale è il testo del primo problema...

Si proceda con la seguente costruzione

1. Si consideri il segmento identificato con l'intervallo $l_0=[0,1]\subset\mathbb{R}$ .
2. Si divida l'intervallo in tre parti uguali, si tolga il segmento centrale e si sostituisca con due segmenti della stessa lunghezza di quello rimosso, posizionati come se fossero i lati di un triangolo equilatero al quale si è tolta la base.
3. Si ripeta la procedura a partire dal punto 1. per ogni segmento ottenuto

Partendo dal segmento unitario e ripetendo 4 volte la costruzione si ottiene la seguente figura

La curva ottenuta si chiama curva di Koch ed è nota per essere un esempio di curva continua e non differenziabile in ogni punto (ok ok, non dirò più certe parolacce). Si tratta di una curva che ha diviso i matematici sin dall'inizio... Cesàro ne ha parlato così: "È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo". Mentre Hermite dichiarava di "ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata".

Per quanto riguarda il nostro problema, ci chiede: quanto è lunga? Si può trovare una formula per descrivere la lunghezza della curva ad ogni passo $l_n$ della costruzione e calcolare $\lim_{n\rightarrow+\infty} l_n$ .

Facciamo un po' di euristica... al primo passo $l_0$ abbiamo solo un segmento ( $1 = 4^0$ ) di lunghezza $1$ ( $1=1/3^0$ ) pertanto $l_0 = 1\cdot 1 = 1$ .

Al passo successivo i segmenti sono diventati $4$ ed hanno tutti lunghezza $1/3$ , per cui $l_1 = 4 \cdot 1/3 = 4/3 = 1,3333333$ .

Ripetendo di nuovo il procedimento avremo che per ognuno dei 4 segmenti precedenti ci sono $4$ nuovi segmenti di lunghezza $1/3$ dei precedenti, per cui i segmenti sono diventati $4\cdot 4 = 4^2 = 16$ e hanno lunghezza $1/3 \cdot 1/3 = 1/3^2 = 1/9$ . Pertanto $l_2 = 4^2 \cdot 1/3^2 = (4/3)^2 = 16/9 = 1,7777777$ .

Dovrebbe essere ormai abbastanza chiaro quello che succede portando avanti il procedimento. Infatti già dai primi passaggi si può intuire che i segmenti quadruplicano di volta in volta e la loro lunghezza si riduce ad un terzo di quella precedente. Questo vuol dire che all' $n$ -esimo passaggio i segmenti saranno $4^n$ e la lunghezza di ognuno di loro sarà $1/3^n$ . Perciò $l_n = 4^n/3^n = (4/3)^n$ .

A questo punto molti di voi sapranno già quale è il limite che otterremo, ma facciamo un passo indietro e cerchiamo di capire quale è l'andamento di $(4/3)^x$ per farci un'idea di cosa aspettarci:

$$\begin{graph} width=400; height=300; xmin=0; xmax=10; ymin=1; plot((4/3)^x);\end{graph}$$

Siccome $4/3 > 1$ la funzione $(4/3)^x$ è crescente, cioè più la $x$ è grande e più la funzione è grande, e questo riportato al discorso del limite fa in modo che $\lim_{n\rightarrow+\infty}(4/3)^n = +\infty$ cioè il limite diverge. Tirando le somme, quella simpatica figura che avete visto sopra (contenuta in qualche manciata di pixel) ha una lunghezza infinita.

Non vi stupisce minimamente? Capisco che si tratta di un processo infinito e difficile da vedere, ma anche al limite la curva non cresce (in maniera visibile) rispetto a quella che vedete in figura eppure la sua lunghezza è infinita. Inoltre si tratta di una curva cosiddetta auto-simile, cioè se zoomate su un suo qualsiasi segmento vi ritroverete un pezzo di curva dal perimetro infinito praticamente identico alla curva iniziale (e quasi sicuramente un po' ruotato).

Ma questa è solo la prima delle sorprese... molte altre devono ancora arrivare con il prossimo post.

P.S. Tutto questo si può provare in modo rigoroso, in particolare sono stato molto superficiale nel descrivere la parte relativa alla divergenza del limite di $a^n$ quando $a>1$ , nel caso a qualche lettore interessi posso tornare sul discorso e fare una dimostrazione rigorosa di questo fatto.

Per ulteriori informazioni:

Curva di Koch (Wikipedia)

Per il pdf originale con gli esercizi (attenti, è in Tedesco):

Blatt 9

Consapevolezze vaganti

Prima di entrare nel dettaglio di questo post, vi chiedo soltanto di guardare il video: fissate il puntino al centro e concentratevi. Notate quello che accade poi proseguite con la lettura...



Se avete seguito le istruzioni probabilmente avete visto che l'anello di pois all'inizio è fermo e i pois stanno cambiando colore, dopo un po' l'anello si muove e i pois smettono di cambiare colore...

Ora provate a riguardare il video, questa volta fissate uno dei pallini e continuate a seguirlo con lo sguardo per tutto il corso del video. Scoprirete che i pallini hanno continuato a cambiare colore anche mentre l'anello si stava muovendo, semplicemente non ci si fa caso! Il fenomeno per cui non si nota il cambio di colore degli oggetti in movimento è chiamato silencing (silenziamento).

La dimostrazione di silenziamento a cui avete appena partecipato è stata descritta in uno studio scientifico, più precisamente: Suchow, J.W., & Alvarez, G.A. (2011). Motion silences awareness of visual change. Current Biology. doi:10.1016/j.cub.2010.12.019

Tutta una serie di dimostrazioni e una copia dell'articolo si possono trovare nella pagina relativa al silenziamento di Harvard: http://visionlab.harvard.edu/​silencing/​.

Fonte: Neatorama

A proposito dei proflli psicologici...

Era l'anno scorso, quando scrivevo di un javascript capace di scrivere profili psicologici personalizzati sulla base del traffico web: Traffico Web e Profili Psicologici. Come vi avevo promesso e considerrato che il numero di votanti non crescerà più di tanto, vi spiegherò come funziona.

Come qualcuno aveva già capito il codice javascript non esiste, si trattava di un profilo psicologico preconfezionato e messo lì uguale per tutti per poter fare il mio test in piccolo dell'effetto Barnum (o effetto Forer). In effetti, il profilo psicologico che ho messo sul blog è proprio la traduzione del profilo psicologico usato da Bertram Forer, uno psicologo, per un famoso test effettuato nel 1948 (e ritestato innumerevoli volte ovunque in giro per il mondo). Citando Wikipedia (vedi Effetto Forer):

Nel 1948, lo psicologo Bertram R. Forer consegnò un test di personalità ai suoi allievi. Al termine fornì a ciascuno di loro un'analisi della personalità quale risultato del test effettuato.
In seguito egli invitò ognuno degli studenti a dare un giudizio, su una scala da 0 (molto scarso) a 5 (eccellente), al profilo fornito sulla base di quanto questo risultato si adattasse a loro stessi. La media fu di 4,26. Solo al termine Forer rivelò agli studenti che era stato consegnato a tutti lo stesso profilo psicologico

Nel nostro caso la media è stata di 4,06 su un punteggio variabile da 1 a 5. La cosa sorprendente è che il 75% dei votanti ha considerato più che accurato il profilo (v. figura sottostante). Provate a leggerlo, ad una prima lettura sembra perfetto, infatti il vostro cervello in qualche modo sta filtrando il testo ricordando soltanto le parti che vi si addicono. Se però lo rileggete attentamente, ad ogni rilettura scoprirete nuovi dettagli che vi erano sfuggiti e che rendono il testo sempre meno preciso.



In effetti l'effetto Forer, o effetto Barnum, "è l'osservazione secondo cui ogni individuo, posto di fronte a un profilo psicologico che crede a lui riferito, tende a immedesimarsi in esso ritenendolo preciso e accurato, senza accorgersi che quel profilo è abbastanza vago e generico da adattarsi ad un numero molto ampio di persone." (cfr. Effetto Forer - Wikipedia)

Ed è proprio questo effetto il motivo dell'abbondanza di previsioni astrologiche, oroscopi e simili. Per quante obiezioni gli scettici possano portare avanti, lo scontro con le esperienze personali dei lettori quotidiani di astrologia (e anche di quelli saltuari) non può reggere il confronto. Quante volte vediamo gente affannarsi per dimostrare la bontà e la verità delle predizioni di un oroscopo o del profilo psicologico del proprio segno Zodiacale o dell'Oroscopo Cinese? E non possiamo obiettare, è vero, c'erano un sacco di dettagli azzeccati... Non a caso, le frasi utilizzate da Forer nella compilazione del profilo "universale" furono estratte qua e la da una rivista di astrologia.

Il fatto è che il nostro cervello vede solo quello che vuole vedere e un giudizio obiettivo e distaccato è praticamente impossibile. Potrei citare decine di studi e di ricerche verificati e ritestati decine e decine di volte a riguardo. In particolare è noto da più di vent'anni che il risultato è tanto più accettato quanto più il soggetto

• è convinto che l'analisi sia personalizzata (sul segno zodiacale, il nome, la data di nascita, il risultato di un test di Donna Moderna, ...)
• è soggetto all'autorità di chi scrive il pezzo (devoti lettori di Paolo Fox vs fedeli del Mago Otelma...)

e quanti più tratti positivi vengono delineati.
(vedi a riguardo: Dickson, D. H., Kelly, I. W., The Barnum effect in personality assessment: a review of the literature, Psychological Reports 57:367-382 (1985) )



Ognuno è libero di credere a quello che vuole e non voglio fare in nessun modo un articolo di protesta o denuncia, ma per favore la prossima volta che vi fanno un profilo psicologico o una lettura della mano o qualunque altra cosa simile (a meno che non sia io a farvelo ;P ) fatevelo scrivere nero su bianco (trascrivete tutto) e rileggete attentamente più e più volte quello che vi hanno detto e quello che avete detto voi... sono sicuro che scoprirete cose che non avreste mai immaginato!

Materiale addizionale:

• Richard Wiseman - Quirkology
• M. Hamilton - Who believes in astrology? ffect of favorableness of astrologically derived personality descriptions on acceptance of astrology
• L'effetto Barnum

Boltzmann a sostegno dell'evoluzione

Ovvero evoluti e rincoglioniti.

E con questo sottotitolo non mi sto riferendo a fatti di gossip politico o simili stralci di giornale tanto di moda in questi anni...

Dopo tanto tanto tempo, più preso da un raptus di follia che altro, mi sono deciso ad aggiornare il blog! Ovvio, direte, visto e considerato che state leggendo questo post, ma allora che ce lo dici a fare? Beh in qualche modo dovevo pur cominciare!

Quindi, dopo cotanta assenza, anziché proporre un post per aggraziarmi i lettori, me ne esco con una serie di insulti gratuiti a tutti, infatti potrebbe anche non piacerci ma sembra proprio che gli esseri umani si stiano rincritinendo. Proprio così, stiamo diventando sempre più stupidi!

A quanto pare, l'uomo di Cro-Magnon, vissuto in Europa tra 20.000 e 30.000 anni fa, ha avuto l'onore di avere il cervello umano più sviluppato di sempre, qualcosa come il 10% più grosso del cervello medio di un homo sapiens sapiens o circa una palla da tennis in più, come scrive Kathleen McAuliffe su Discovery Magazine a proposito di questa scoperta.

A quanto pare non si tratta di una novità per i paleontologi, ma la notizia è sempre rimasta in qualche modo 'segreta' perché la sua spiegazione ancora non è chiara. Le due maggiori correnti di pensiero sono contrapposte:

• una, per l'appunto, è convinta che l'uomo stia diventando via via meno intelligente in quanto, con il progresso, il suo bisogno di ingegnarsi per restare in vita è sempre minore;
• l'altra, invece, parte dal fatto che il cervello consuma circa il 20% del nostro fabbisogno calorico, pertanto può essere considerato un organo metabolicamente importante, per arrivare a dire che il cervello sta riorganizzando la sua struttura e il suo funzionamento per diventare sempre più efficiente.

Al momento entrambe le teorie sembrano altrettanto plausibili.

Mi dispiace per tutti quelli che si aspettavano un mondo abitato da esseri umani piccoli e macroencefali capaci di fare tutto con la semplice forza del pensiero, a quanto pare questa progressiva riduzione va di pari passo con l'evoluzione.

Sempre su questa linea, uno studio recente condotto da due scienziati 'cognitivi' (si chiamano così in italiano i cognitive scientist?) del'Università del Missouri, David Geary e Drew Bailey, ha analizzato la dimensione e la capienza del cranio degli esseri umani in rapporto al loro progressivo adattarsi ad un ambiente sociale sempre più complesso prendendo in considerazione l'arco temporale che va da 1.900.000 anni fa a 10.000 anni fa. I due hanno scoperto che quando la densità di popolazione è stata bassa (come in buona parte del periodo evolutivo umano) il cranio ha avuto una forte tendenza alla crescita, mentre nelle zone in cui la densità era in aumento si vede una inversione di tendenza con la dimensione del cranio che cominciava a diminuire.

La loro conclusione è stata che con l'aumento di complessità delle strutture sociali e il conseguente aumento di popolazione, la necessità di ingegnarsi per sopravvivere è diminuita e di conseguenza il cervello non ha avuto più bisogno di essere così grande (e sprecare tante energie da sottrarre alle braccia).

Da notare però che tutto questo è molto lontano dallo stereotipo di padri ancestrali molto più intelligenti di noi o dal futuro previsto da Idiocracy. Come ha detto il Dr. Geary, non possiamo nemmeno paragonare il nostro livello intellettuale e creativo a quello dei nostri antenati, anche solo perché a loro è mancato tutto il supporto culturale e di infrastrutture a cui abbiamo accesso ai giorni nostri.

Per fare qualche altro nome, il Dr. Hawks (antropologo dell'Università del Wisconsin), è un sostenitore della teoria dell'aumento dell'efficienza e della conseguente diminuzione del cervello a causa di ottimizzazioni neurochimiche intrinseche.

E se invece la crescita/decrescita del cervello fosse ciclica? Un antropologo dell'Università del Tennessee, Richard Jantz, sembra aver scoperto che le dimensioni del nostro cervello abbiano ripreso a crescere nell'ultimo secolo....

Quindi che c'è da pensare? Cosa dice la scienza? Quale è la verità? La verità, secondo me, è che la scienza ancora non sa che dire a riguardo e se non la sosteniamo (economicamente e moralmente) potremmo non sapere mai quale è la risposta.

Di sicuro c'è che Boltzmann si è sbagliato, almeno in parte. Se il suo aforisma «L'intelligenza totale è una costante. La popolazione sta aumentando.» fosse stato vero, la crescita/decrescita del nostro cervello sarebbe dovuta essere esponenziale. Considerato che alla sua epoca nel mondo c'erano circa 1 miliardo e 500 mila abitanti e che ora abbiamo superato i 7 miliardi il nostro cervello dovrebbe essere soltanto il 21% del loro (l'80% più piccolo... aivoglia a palline da tennis in meno). E per quanto la mia brillantezza non si avvicini di certo alla sua, di certo il mio cervello non è grosso come una noce (almeno spero).

In conclusione, se anche il nostro cervello è andato via via restringendosi, se anche fosse vero che mediamente stiamo diventando più stupidi, ci sono sempre (per fortuna) cervelli che si discostano dalla media, le grandi menti del passato del presente e del futuro, i grandi dello spot di 'Think Different' e tanti altri meno noti, gente che qualunque cosa fa, fa la differenza! E che magari un giorno potranno dirci che stiamo diventando più ottimizzati, non più stupidi... non so' che pensare, dopo questo slancio ottimista apro il giornale e penso il contrario... sono fortunato ad essere nato nel 2000 e non nel 3000 ;)

Altre fonti:

• Are we becoming more stupid? Human brain has been 'shrinking for the last 20,000 yea
• Our Brains Are Shrinking. Are We Getting Dumber?