22 ottobre 2007

Viaggio al centro della terra

Supponete di poter trapanare da parte a parte la terra.
Supponete anche che potete buttarvici dentro senza bruciare vivi.

Quanto tempo impieghereste ad arrivare dall'altra parte?


La vostra accelerazione iniziale sarebbe l'accelerazione di gravità

che però decrescerebbe gradualmente scendendo nella Terra. Arrivati al centro, il vostro peso dovrebbe essere nullo.

Supponiamo per questo ipotetico viaggio che la densità della terra sia uniforme e che l'attrito dell'aria e le alte temperature che incontreremmo siano trascurabili.

Per un corpo di massa sferica, la forza di gravità netta su un oggetto al suo interno dipende solo dalla massa contenuta nella sfera compresa tra il centro e l'oggetto stesso e agisce come se si trattasse di una massa puntiforme concentrata nel centro.
Analizzando la situazione in dettaglio, scoprireste che ogni massa posta ad un raggio r minore di quello terrestre REarth subirà un'accelerazione di gravità linearmente proporzionale alla distanza dal centro.

Cliccando sui link seguenti potete trovare degli approfondimenti: sintetica analisi della forza di gravità che agisce su masse esterne alla terra e sintetica analisi di quella che agisce su quelle interne.

Considerando positivo il verso dei vettori uscenti dal centro della terra, otteniamo
che ha la stessa forma della legge di Hooke nel caso di una massa attaccata ad una molla. Questo implica che comincereste ad oscillare su e giù attraverso il centro della terra come una massa che oscilla attaccata ad una molla. La frequenza angolare e il periodo delle vostre oscillazioni sarebbero
o per essere più precisi
In altre parole comincerete ad accelerare fino a raggiungere il centro della terra senza peso ma ad una velocità di 7900 m/s (cioè 28440 km/h), a questo punto inizierete a rallentare ma continuerete a scendere fino ad apparire all'altro lato del globo (a velocità nulla e con un'accelerazione di gravità opposta a quella iniziale) dopo un tempo complessivo di circa

42
minuti.
Purtroppo, a meno che non troviate qualcosa a cui aggrapparvi, ricomincerete subito la "salita" verso il centro della terra e continuerete a sbucare da una parte all'altra del globo oscillando con un tempo complessivo di andata e ritorno di 84 minuti e mezzo.

Per rendere il viaggio più interessante, supponiamo di mettere un satellite in un'orbita circolare che sfiori la superficie della terra. Ignorando ancora una volta l'attrito dell'aria e l'allucinante boom sonico che accompagnano un'orbita del genere, supponiamo che il satellite passi sopra al tunnel che attraversa la terra proprio ogni volta che ne sbucate fuori (potrebbe essere utile per potervici aggrappare quando sarete stufi di oscillare).

Cerchiamo il periodo di tale orbita in modo da far passare il satellite, di volta in volta, esattamente sopra al buco da cui state saltando fuori. Possiamo calcolarlo facilmente con

Bene... ora cercate un modo di forare la terra, una tuta ignifuga aerodinamica e un ottimo lubrificante per limitare gli attriti e poi realizzate il primo oscillatore armonico terrestre!

21 commenti:

Limp ha detto...

A parte che non ho i soldi per cotal impresa...cmq non mi fido!! Troppe approssimazioni!!

Samulo ha detto...

Dunque...

l'idea è molto interessante anche se ai limiti del metafisico, ma aldilà del concetto mi sono perso nei calcoli e ho deciso di prendere come vere a priori le formule per godermi il testo, anche se sinceramente potrebbero significare qualsiasi cosa(triste parlare cosi dopo 5 anni di fisica, teoricamente queste cose le dovrei capire al volo, ma un pò x l incompetenza della mia insegnante, un pò xchè sono lento di mio; non sono in grado di decifrare tutto quello che c'è scritto XD)

IN DEFINITIVA, sono sempre piu convinto che il tuo sia uno dei miglior blog che abbia mai letto. Finalmente qualcuno che abbia capito come sfruttare appieno l'enorme potenzialità di questa funzione. GREAT!

professore ha detto...

Ma quando cominci a cadere verso il centro della terra, la massa di terra che si trova intorno a te (più lontana dal centro della terra di quanto non sia tu) non rallenta la caduta? Non c'è una minima attrazione gravitazionale verso "l'esterno"?

Chiara ha detto...

Mi sono persa già alla prima formula!!però che forte che è girare di continua senza mai fermarsi!!!ahahahhahahahhahahahhahaGrande marci!!!

beatrice ha detto...

Ma non c'hai proprio niente da fa??;-PP!!Comunque mi complimento per l'idea dell'oscillatore armonico terrestre...Un pò impossibile da realizzare...Cmq hai molta FANTASIA, specialmente nel supporre che:
- non esiste l'attrito dell'aria;
- la densità della Terra sia uniforme;
- le altissime temperature siano trascurabili...
Quando ne farai uno... CHIAMACI!!
Un bacione. Beatrice.

iRick ha detto...

Per "professore": no, per la legge di Gauss. Ti attrae solo quella "più interna" a te, i contributi di quella "esterna" si annullano vicendevolmente nell'integrale. ;)

Dott. Marcello Seri ha detto...

esattamente, è spiegato anche nel link relativo all'interno dell'articolo. Comunque forse ne riparlerò più in avanti.

professore ha detto...

Ah, ok, ho visto il link adesso. Grazie.

Sosseri ha detto...

Quello che mi sorprende di più è che i tuoi grandi amici scienziati non si sono accorti dell'impressionante grandezza di quel 42 in confronto al resto del testo. Ve lo dico in termini comprensibili per voi: un corpo di massa più grande dovrebbe attrarre di più di uno più piccolo... perciò Marcello voleva attrarre la vostra attenzione sul 42!!! Ma cos'è questo ingenuo 42 nell'immensità della stupefacenza della dimostrazione? vi lascerei nell'immensità della vostra ignoranza, ma per evitare che questa vi attragga come un buco nero fino ad inghiottire anche me vi spiego: un autore famoso e fantascentifico (non fantascienziato) DOUGLAS ADAMS nella sua guida galattica per gli autostoppisti parlò della domanda dell'universo e del tutto. La risposta alla domanda fondamentale è risultata essere, mi dispiace per chi ancora non ha letto il libro, 42! Questo ci spiega, più che come è fatto un oscillatore armonico, che Douglas Adams forse non scherzava!!! Ma soprattutto ci fa capire che è più facile far sentire ignorante la gente con un semplice numero ingrandito che con un lungo articolo tra la fisica e la metafisica!!! CIAO MARCIOOOOOOOO!

professore ha detto...

In realtà già si sapeva che 42 è una costante universale. Non a caso la Terra è stata costruita appositamente con le dimensioni che ha da Slartibartfast.

:-)

Dott. Marcello Seri ha detto...

Voglio dire... 42 è anche il momento terzo della Zeta di Riemann e la dimostrazione che ne hanno dato Keating e Snaith è corredata della formula per calcolare ogni momento della zeta e viene da una connessione tra i numeri primi e la meccanica quantistica se non erro (non ho ancora approfondito la cosa, appena sarò più informato saprò essere più chiaro)... il che mostra come forse 42 possa essere veramente la risposta alla domanda di tutte le domande sulla vita, l'universo e tutto quanto.

Dott. Marcello Seri ha detto...

Non sbagliavo. Ho trovato un articolo divulgativo che ne parla:
Prime Numbers Get Hitched

In their search for patterns, mathematicians have uncovered unlikely connections between prime numbers and quantum physics. Will the subatomic world help reveal the elusive nature of the primes?

Poche pagine più avanti parla anche del 42 come momento terzo della zeta!

Arthur ha detto...

A naso , credo che se trapani la terra senza dividerla a metà ma solo con un foro che permetta di entrarvici, una volta arrivato al centro non potrai più allontarti.

Anonimo ha detto...

La dimostrazione è corretta e non fa una grinza! L' idea è geniale, ma sarà sempre e comunque irrearzzabile! Ciao

infinito ha detto...

Più che un commento è un trattato ... ma tant'è.

Qualche anno fa si era già parlato a scuola di questo argomento, ma integrandolo con altre considerazioni di varia natura, alcune delle quali penso (e spero) possano interessare anche qui, per cui le riporto.

1°) È interessante sapere che il tempo di “caduta” da parte a parte, che chiamo “T” è lo stesso per qualunque buco diritto (cioè il cui asse è un segmento, anche se non parallelo al diametro) da A a C, per dimostrarlo basta fare “il confronto” fra il moto in questo buco e quello nel buco da A a B passante per il centro O (cioè con asse il diametro): se si considerano le proiezioni delle forze, degli spostamenti e delle velocità da OB ad AC il tutto dovrebbe essere abbastanza banale.

2°) Ne segue che, per esempio, potremmo impiegare il tempo T anche per andare da Roma a New York. Questo se si collegano con un buco rettilineo, ma se invece si procede con una curva adeguata (per esempio con un arco di circonferenza tangente in A e C ai raggi OA e OC) potremmo impegare in tempo sicuramente minore, cioè “in pratica” T sarebbe il tempo massimo per collegare due punti della superficie terrestre.

3) Forse è ancor più interessante sapere che tale tempo massimo dipende solo dalla densità (che abbiamo considerato costante) della Terra, e che sarebbe esattamente lo stesso per qualunque altro corpo celeste o “pallina” (omogenei) di uguale densità. Per dimostrarlo basta chiamarne “m” la massa, “r” il raggio, ecc., e poi calcolarsi il tempo di oscillazione, scoprendo che non dipende da queste singolarmente, ma solo da “m/r³”, cioè dalla sua densità.

4°) Comunque questo oscillatore di cui si parla nel presente articolo potrebbe essere estremamente utile come mezzo di trasporto (velocissimo ed economicissimo) per collegare fra loro i continenti, ma la sua realizzazione direi che è praticamente impossibile. Però supponiamo di voler costruire questo “pozzo da parte a parte”, con le pareti solide e con il vuoto all'interno. Se si pensa che le pareti devono essere raffreddate continuamente, si può considerare una enorme risorsa energetica il calore da dissipare (anche se ho difficoltà a pensare come fare a trasferire “in tempo utile” il calore dalle zone caldissime dell'interno della Terra a quelle “fredde” dell'esterno). Infatti l'energia (elettrica e termica, ma non solo) prodotta con questo raffreddamento dovrebbe essere sufficiente a pagare tutte le spese di gestione, e a dare un guadagno che, unito agli utili del servizio trasporto di persone e merci, forse potrebbe realmente giustificare l'enorme investimento iniziale.
(Si pensi comunque che già oggi per estrarre il petrolio si fanno già trivellazioni di oltre 5 km di profondità)

5°) Ovviamente io non auspico affatto una tale attività, perché gli effetti sulla vita sulla Terra non sono facilmente valutabili e sarebbero sicuramente irreversibili (per dare un'idea di cosa intendo si può pensare alla “dinamo” che genera il campo magnetico terrestre e a tutti gli animali che probabilmente lo osano per orientarsi).

6°) Comunque il sistema di trasporto come me lo immagino io è formato da un “grosso” pozzo con due “stazioni” ai suoi estremi. Queste devono essere posizionate allo stesso potenziale (gravitazionale) e ogni stazione deve avere una “cupola” collegata direttamente al pozzo, e il tutto deve essere sotto vuoto (per eliminare la “resistenza dell'aria”). Il trasporto avverrebbe in “navicelle” di forma cilindrica con due semisfere sulle facce piane (non so come si chiami questa forma molto utilizzata e adattissima a resistere a grandi differenze di pressione), in cui si sistemerebbero passeggeri e/o merci. All'interno del pozzo ci sarebbero due tubi con rotaie magnetiche (longitudinali), per ridurre l'attrito, su cui scorrerebbero le navicelle. I tubi dovrebbero essere due per poter essere percorsi sempre nello stesso verso (come dire: uno per l'andata e l'altro per il ritorno). I viaggi si svolgerebbero quindi in questo modo: viaggiatori e merci si sistemerebbero “senza fretta” nelle navicelle (insieme o separatamente) all'esterno della cupola, e quando il tutto è pronto verrebbero introdotti nella cupola e poi lasciati cadere nei tubi con una piccola spinta iniziale, in modo da arrivare dall'altra parte senza necessità di propulsori. All'arrivo la navicella verrebbe fatta proseguire fino all'esterno della calotta di arrivo. Il fatto che ogni tubo si percorra in un unico verso permetterebbe di far viaggiare più navicelle contemporaneamente (cioè di far partire altre navicelle quando la prima non è ancora arrivata), a seconda del volume di traffico, ma in funzione della sicurezza garantita. Se collegassimo Europa ed America, Europa ed Africa, Europa ed Australia, Europa ed Estremo Oriente, allora in un viaggio “doppio” (per esempio dall'America all'Australia) si passerebbe da un tubo al successivo senza soluzione di continuità. In questo modo avremmo garantito il collegamento fra due qualunque di questi continenti in un tempo massimo di 85 minuti.

7) Se la navicella si limitasse a traslare, durante tutto il viaggio si avrebbe la sensazione di mancanza di gravità, che potrebbe dare diversi problemi (il più banale dei quali forse è il vomito), per questo non sarebbe male che la navicella ruotasse su se stessa, in modo da dare “l'effetto gravità” (o qualcosa del genere). L'idea di un pozzo abbastanza grande da permettere di ottenere tale effetto non è così assurda se si pensa a dover realmente realizzare l'impianto di raffreddamento delle pareti del pozzo: si avrebbe unatale quantità di calore da “dissipare” da necessitare probabilmente di una quantità enorme di liquido refrigerante, e poiché raddoppiando il diametro del pozzo (e dei tubi delle navicelle) si raddoppia la superficie da raffreddare, ma si quadruplica la sezione disponibile per il refrigerante, si avrebbe una quantità (quasi) doppia di energia termica prodotta e un'efficienza del sistema di refrigerazione (almeno) doppia.

Mi fermo qui, spero di essere stato comprensibile ed interessante (io, di per me, mi sono capito benissimo e quello che ho detto mi è garbato davvero tanto ...).

doc ha detto...

Mi dispiace averci messo tanto a rispondere... il tuo trattato è Magnifico!!! Ed avrebbe meritato certamente un post a parte!

infinito ha detto...

Fra le varie parti di cui si parlò allora, e che nel mio “trattato” non ho riportato forse la più interessante è che il tempo per andare da parte a parte non è 42 minuti.

Se ben ricordo i 42 minuti si trovano con un “semplice” calcolo, considerando che il moto sia armonico (se la Terra si suppone sferica e omogenea, l'accelerazione al suo interno è direttamente proporzionale al raggio, ed a questo opposta).
Però la densità locale della Terra non è costante, ma aumenta significativamente al diminuire del raggio, per cui se dimezzo il raggio la gravità è sicuramente significativamente maggiore della la metà, visto che la densità della geosfera cresce dai circa 2,5 ai 13 kg/dm³ scendendo dalla superficie fino al nucleo (con una stima approssimata usando i dati che leggo su Wikipedia mi sembrerebbe possibile che alla profondità di metà raggio l'accelerazione di gravità resti approssimativamente uguale a g).
Quindi se con la Terra omogenea il tempo è 42 minuti, con l'accelerazione decisamente maggiore il tempo è decisamente minore.

Se c'è qualche patito del calcolo al computer … beh, può informarci di quanto è tale tempo (però non è più vero che per qualunque buco rettilineo è costante il tempo di percorrenza).

infinito ha detto...

Ho parlato di questa discussione aprendone una intitolata [Url=http://www.base5forum.it/viewtopic.php?f=1&t=1189&start=0&st=0&sk=t&sd=a]La Terra come un gruviera - Mezzo di trasporto efficiente [/Url] sul forum sito di [Url=http://www.base5forum.it/viewforum.php?f=1]Base cinque[/Url], e lì mi ha risposto "delfo52" mettendo un link che porta alla pagina di Wikipedia dove si parla del "42" a cui accennava sopra "Sosseri".

(Ho visto che nell'anteprima i link non mi funzionano ... non so se lo faranno anche dopo l'invio. Li lascio così, in modo che se se vede l'errore chi può possa correggerlo e togliere questo commento.)

doc ha detto...

Riport oi link nella forma classica e ti ringrazio per aver fatto giare questo post. Eheheh 42 è approssimato, lo so... ma era carino poter citare così apertamente La Risposta! Facci caso, ho anche recensito la Guida Galattica tempo addietro.

- La Terra come un gruviera - Mezzo di trasporto efficiente

- Base 5

Mister X ha detto...

Infinito, mi sa che è meglio se ti dedichi un po' di più allo studio. Molte delle cose da te proposte sono fisicamente impossibili (ti ha mai detto nessuno che per raffreddare qualcosa bisogna spendere del lavoro?!)

Cmq, fai bene, anch'io a volte mi faccio prendere dalle seghe mentali scientifico/ingegneristico, e mi sento realizzato.

Dai magari sarai un nuovo Verne.

Ciao

infinito ha detto...

Mister X, forse ti è sfuggito che non sto parlando di raffreddare qualcosa di “freddo”, ma la superficie interna del buco (che si trova quasi tutta a temperatura compresa fra i 1000°C e i 6000°C) mettendola in collegamento (tramite un fluido adeguato) con il mondo esterno (che si trova a temperatura ben inferiore ai 100°C).

In questo caso è possibile raffreddare la superficie senza spendere energia meccanica, anzi ottenendola dal calore, e con un rendimento (teorico medio) maggiore dell' 80% .