Viaggio al centro della terra

Supponete di poter trapanare da parte a parte la terra.
Supponete anche che potete buttarvici dentro senza bruciare vivi.

Quanto tempo impieghereste ad arrivare dall'altra parte?

La vostra accelerazione iniziale sarebbe l'accelerazione di gravità

che però decrescerebbe gradualmente scendendo nella Terra. Arrivati al centro, il vostro peso dovrebbe essere nullo.

Supponiamo per questo ipotetico viaggio che la densità della terra sia uniforme e che l'attrito dell'aria e le alte temperature che incontreremmo siano trascurabili.

Per un corpo di massa sferica, la forza di gravità netta su un oggetto al suo interno dipende solo dalla massa contenuta nella sfera compresa tra il centro e l'oggetto stesso e agisce come se si trattasse di una massa puntiforme concentrata nel centro.
Analizzando la situazione in dettaglio, scoprireste che ogni massa posta ad un raggio r minore di quello terrestre R_Earth subirà un'accelerazione di gravità linearmente proporzionale alla distanza dal centro.

Cliccando sui link seguenti potete trovare degli approfondimenti: sintetica analisi della forza di gravità che agisce su masse esterne alla terra e sintetica analisi di quella che agisce su quelle interne.

Considerando positivo il verso dei vettori uscenti dal centro della terra, otteniamo

che ha la stessa forma della legge di Hooke nel caso di una massa attaccata ad una molla. Questo implica che comincereste ad oscillare su e giù attraverso il centro della terra come una massa che oscilla attaccata ad una molla. La frequenza angolare e il periodo delle vostre oscillazioni sarebbero

o per essere più precisi

In altre parole comincerete ad accelerare fino a raggiungere il centro della terra senza peso ma ad una velocità di 7900 m/s (cioè 28440 km/h), a questo punto inizierete a rallentare ma continuerete a scendere fino ad apparire all'altro lato del globo (a velocità nulla e con un'accelerazione di gravità opposta a quella iniziale) dopo un tempo complessivo di circa

42

minuti.
Purtroppo, a meno che non troviate qualcosa a cui aggrapparvi, ricomincerete subito la "salita" verso il centro della terra e continuerete a sbucare da una parte all'altra del globo oscillando con un tempo complessivo di andata e ritorno di 84 minuti e mezzo.

Per rendere il viaggio più interessante, supponiamo di mettere un satellite in un'orbita circolare che sfiori la superficie della terra. Ignorando ancora una volta l'attrito dell'aria e l'allucinante boom sonico che accompagnano un'orbita del genere, supponiamo che il satellite passi sopra al tunnel che attraversa la terra proprio ogni volta che ne sbucate fuori (potrebbe essere utile per potervici aggrappare quando sarete stufi di oscillare).

Cerchiamo il periodo di tale orbita in modo da far passare il satellite, di volta in volta, esattamente sopra al buco da cui state saltando fuori. Possiamo calcolarlo facilmente con

Bene... ora cercate un modo di forare la terra, una tuta ignifuga aerodinamica e un ottimo lubrificante per limitare gli attriti e poi realizzate il primo oscillatore armonico terrestre!

Fonte: HyperPhysics