Carnevale della Matematica #45 su Matem@ticaMente

Dopo un anno di mancati link vi segnalo il Carnevale della Matematica di Gennaio su Matem@ticaMente. E per gli altri carnevali date un'occhiata su matematti.

Weihnachtsübungen parte terza

E così, ad un anno di distanza dall'ultimo post sui Weinachtsübungen, eccomi a chiudere il cerchio. Parto con il buon proposito di inizio d'anno di cercare di scrivere sul blog un po' più spesso che so' già di non poter rispettare, ma meglio di niente...

Per chi non li conosce e per chi vuole rinfrescarsi la memoria, si tratta dell'ultima parte di questa serie di post:

• Weihnachtsübungen parte prima
• Weihnachtsübungen parte seconda

Abbiamo visto in quei post che ci sono curve di lunghezza infinita e di area finita, e con semplici strumenti di analisi (conosciuti in genere anche in un quinto superiore) siamo anche stati precisi nelle stime.

Il secondo punto dell'esercizio a cui facevo riferimento nei precedenti post riguarda la seguente costruzione. Costruiamo una figura nel piano come segue:

1. Iniziamo con un triangolo equilatero pieno con i lati di lunghezza \( 1 \).
2. Rimuoviamo dal triangolo un triangolo equilatero con vertici nel punto medio del triangolo di partenza come nella figura che segue e poi proseguiamo col prossimo punto.
3. Su ognuno dei piccoli triangoli equilateri pieni ottenuti ripetiamo il passaggio precedente.

Il triangolo passo dopo passo durante la prima esecuzione della costruzione

Quello che otteniamo dopo aver eseguito per la prima volta il punto 3. lo possiamo vedere nella figura sovrastante. Andando avanti all'infinito è chiaro che la struttura diventa sempre più piena di buchi. Il frattale che si ottiene reiterando il procedimento all'infinito si chiama Triangolo di Sierpinski.

In modo simile a quanto fatto nella prima parte di questa serie di post, possiamo cercare di capire quale è il perimetro di questa specie di triangolo. Non è difficile rendersi conto che ad ogni iterazione dei punti 2. e 3. abbiamo ogni volta il triplo dei triangoli ma con i lati lunghi la metà:

• Triangolo di partenza \( P_0 = 1 + 1 + 1 = 3 \)
• Dopo il punto 2. abbiamo \( P_1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 \frac{3}{2} \)
• Dopo il punto 3. abbiamo \( P_2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3 (\frac{9}{4}) \).

In realtà si può dimostrare per induzione che \( P_n = 3 \frac{3^k}{2^k} \) e dunque, come già per la curva di Koch il perimetro diverge al crescere di \( n \): \( \lim_{n\rightarrow\infty} P_n = +\infty \).

Insomma fino a questo punto non c'è nulla di inaspettato... ma ancora non vi ho detto cosa chiedeva il problema!

Consideriamo l'area del triangolo colorata in blu nella figura. Il problema chiede di trovare una formula per l'area \( A_n \) della figura al passo $n$-esimo e di calcolare \( \lim_{n\rightarrow\infty} A_n \).

Andiamo per gradi. L'area di un triangolo è data da base per altezza diviso due e l'altezza di un triangolo equilatero di lato $l$ è notoriamente $\frac{\sqrt{3} l}{2}$ (si calcola facilmente col Teorema di Pitagora). Dunque l'area di un triangolo equilatero di lato $l$ è $ \frac{\sqrt{3} l^2}{4}$.

• Iniziamo con un triangolo di area $A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
• Al primo passo togliamo un triangolo col lato dimezzato, dunque avremo $A_1 = A_0 - \frac{\sqrt{3} (1/2)^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - 1/4)$.
• Al passo successivo togliamo $3$ triangoli di lato ulteriormente dimezzato, dunque $A_2 = A_1 - \frac{\sqrt{3} (1/4)^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(1 - 1/4 - 3/16)$
• Dopodiché dovremo togliere $9$ triangolino di lato ulteriormente dimezzato... ed ad ogni passo saranno sempre tre volte tanti triangolini ma di lato ulteriormente dimezzato. In altre parole abbiamo: $$ A_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - \sum_{k=0}^n \frac{3^k}{4^{k+1}}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - \frac{1}{4} \sum_{k=0}^n \frac{3^k}{4^{k}}) $$

Ma a cosa tende $\lim_{n\rightarrow\infty} A_n$? La chiave di questa risposta è nell'ultima serie della formula precedente. Fortunatamente $3/4 < 1$ e dunque si può dimostrare che $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{3^k}{4^{k}} $$ è ben definita e converge ad un valore facilmente calcolabile. In effetti si tratta di una Serie Geometrica e non è difficile dimostrare che $$ \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $$ da cui, nel caso $|x| < 1$, si ottiene $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^n x^k = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} = \frac{1}{1-x} $$

Nel nostro caso dunque avremo $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{3^k}{4^{k}} = \frac{1}{ 1 - 4/3 } = \frac{4}{4-3} = 4 $$ e dunque $$ \lim_{n\rightarrow\infty} A_{n} = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - \frac{1}{4} 4 ) = 0 $$

Proprio così! Al limite otteniamo una figura che ha perimetro infinito e area $0$!!!!

Da notare che con quanto detto possiamo calcolare precisamente anche i vari valori $$ A_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - \frac{1}{4} \frac{1 - (3/4)^{n+1}}{1 - 3/4}) = \frac{3^{n+1} \sqrt{3}}{4^{n+2}} $$

E per oggi è tutto... buona serata a tutti e buon 2012!

Spettri dal passato

«Nessuna impresa che dipenda, per il suo successo, dal pagare i suoi lavoratori meno di quanto serva loro per vivere ha diritto di sopravvivere in questo Paese»

(Franklin Delano Roosevelt, dal discorso sul National Industrial Recovery Act, 16 giugno 1933)

Un discorso simile andrebbe fatto anche per lo stato...

fonte della citazione: il Post

Esiste davvero Babbo Natale?

Nessuna specie conosciuta di renna puo' volare. Ci sono pero' 300.000 specie di organismi viventi ancora da classificare e, mentre la maggioranza di questi organismi e' rappresentata da insetti e germi, questo non esclude completamente l'esistenza di renne volanti, che solo Babbo Natale ha visto.

Ci sono 2 miliardi di bambini (Sotto I 18 anni) al mondo. Dato, pero', che Babbo Natale non tratta con bambini Musulmani, Hindu, Buddisti e Giudei, questo riduce il carico di lavoro al 15% del totale, cioe' circa 378 milioni.

Con una media di 3.5 bambini per famiglia, si ha un totale di 91.8 milioni di locazioni. Si puo' presumere che ci sia almeno UN bambino buono per famiglia.

Babbo Natale ha 31 ore lavorative, grazie ai fusi orari e alla rotazione della Terra, assumendo che viaggi da Est verso Ovest.

Questo porta ad un calcolo di 822.6 visite per secondo.

Questo significa che, per ogni famiglia Cristiana con almeno un bambino buono, Babbo Natale ha circa 1/1000 di secondo per trovare parcheggio (Cosa, questa semplice, dato che Lui parcheggia sul tetto e non ha problemi di divieti di sosta), saltare giu' dalla slitta, scendere dal camino, riempire le calze, distribuire il resto dei doni sotto l'Albero di Natale, mangiare cio' che I bambini mettono a sua disposizione, risalire dal camino, saltare sulla slitta e decollare per la prossima destinazione.

Assumendo che le abitazioni siano distribuite uniformemente (Che sappiamo essere falso, ma accettiamo per semplicita' di calcolo), stiamo parlando di 1,248 Km per ogni fermata, un viaggio totale di 120.000.000 di Km.

Questo implica che la slita di Babbo Natale viaggia a circa 1040 Km/sec, 3000 volte la velocita' del suono. Per comparazione, la sonda spaziale Ulisse (La cosa piu' veloce creata dall'uomo) viaggia appena a 43,84 Km/sec, e una renna media a circa 30 Km/h.

Il carico della slitta aggiunge un altro interessante elemento. Assumendo che ogni bambino riceva una scatola media di Lego (1 kg), la slitta porta 378.000 tonnellate, escludendo Babbo Natale (Notoriamente sovrappeso). Sulla terra, una renna puo' esercitare una forza di trazione di circa 150 Kg. Anche assumendo che una "Renna Volante" possa trainare 10 volte tanto, non e' possibile muovere quella slitta con 8 o 9 renne, ne serviranno circa 214.000. Questo porta il peso, senza contare la slitta, a 575.620 Tonnellate. Per comparazione, questo e' circa 4 volte il peso della nave Queen Elizabeth II.

Sicuramente, 575.620 Tonnellate che viaggiano alla velocita' di 1040 km/sec generano un'enorme resistenza. Questa resistenza riscaldera' le renne allo stesso modo di un'astronave che rientra nell'atmosfera. Il paio di renne di testa assorbira' 14.3 QUINTILIONI di joules per secondo. In breve si vaporizzera' quasi istantaneamente, esponendo il secondo paio di renne e creando assordanti onde d'urto (Bang) soniche.

L'intero team verra' vaporizzato entro 4.26 millesimi di secondo.


Conclusione: Babbo Natale esisteva, ... ma ora e' morto.


[NB: non conosco la fonte, se qualcuno di voi ne è al corrente vi prego di segnalarnela]

La Statistica (Trilussa)

Sai ched'è la statistica? È na' cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perch'è c'è un antro che ne magna due.

(Trilussa, La Statistica)